خمس مرات في العين
في نهاية عام 2020 ، أقيمت العديد من الفعاليات في الجامعات والمدارس ، مؤجلة من ... مارس. واحد منهم كان "الاحتفال" بيوم باي. بهذه المناسبة ، في 8 ديسمبر ، ألقيت محاضرة عن بعد في جامعة سيليزيا ، وهذه المقالة هي ملخص للمحاضرة. بدأ الحفلة بأكملها في 9.42 ، ومن المقرر أن تكون محاضرة لي 10.28. من أين تأتي هذه الدقة؟ الأمر بسيط: 3 مرات pi تساوي 9,42 تقريبًا ، و مرفوعًا للقوة الثانية حوالي 2 ، والساعة من 9,88 إلى القوة 9 تساوي 88 إلى 10 ...
عادة تكريم هذا الرقم ، تعبر عن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها وتسمى أحيانًا ثابت أرخميدس (وكذلك في الثقافات الناطقة بالألمانية) ، يأتي من الولايات المتحدة الأمريكية (أنظر أيضا: ). 3.14 مارس "النمط الأمريكي" الساعة 22:22 ، ومن هنا جاءت الفكرة. المكافئ البولندي يمكن أن يكون 7 يوليو لأن الكسر 14 / XNUMX يقارب π جيدًا ، والذي ... كان أرخميدس يعرفه بالفعل. حسنًا ، مارس XNUMX هو أفضل وقت للأحداث الجانبية.
هذه الثلاث وأربع عشرة مائة هي واحدة من الرسائل الرياضية القليلة التي بقيت معنا من المدرسة مدى الحياة. يعلم الجميع ماذا يعني ذلك "خمس مرات في العين". إنها متأصلة في اللغة بحيث يصعب التعبير عنها بشكل مختلف وبنفس النعمة. عندما سألت في ورشة إصلاح السيارات عن تكلفة الإصلاح ، فكر الميكانيكي في الأمر وقال: "خمس مرات حوالي ثمانمائة زلوتي". قررت الاستفادة من الوضع. "تقصد تقريب تقريبي؟". لا بد أن الميكانيكي قد ظن أنني لم أسمع ، لذلك كرر ، "لا أعرف كم بالضبط ، لكن خمس مرات ستصل إلى 800".
.
عن ماذا يتكلم؟ استخدمت تهجئة ما قبل الحرب العالمية الثانية كلمة "لا" معًا ، وتركتها هناك. نحن لا نتعامل هنا مع شعر فخم بلا داع ، على الرغم من أنني أحب فكرة أن "السفينة الذهبية تضخ السعادة". اسأل الطلاب: ماذا يعني هذا الفكر؟ لكن قيمة هذا النص تكمن في مكان آخر. عدد الأحرف في الكلمات التالية هي أرقام امتداد pi. دعنا نلقي نظرة:
Π 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX
في عام 1596 ، عالم هولندي من أصل ألماني لودولف فان سولن حسبت قيمة pi إلى 35 منزلاً عشريًا. ثم نقشت هذه الأشكال على قبره. كرست قصيدة لعدد باي وللحائز على جائزة نوبل ، Wyslava Szymbourska. انبهر شيمبورسكا بعدم تواتر هذا الرقم وحقيقة أنه مع وجود الاحتمال 1 ، ستظهر كل سلسلة من الأرقام ، مثل رقم هاتفنا. في حين أن الخاصية الأولى متأصلة في كل رقم غير منطقي (يجب أن نتذكره من المدرسة) ، فإن الثانية هي حقيقة رياضية مثيرة للاهتمام يصعب إثباتها. يمكنك حتى العثور على تطبيقات تقدم: أعطني رقم هاتفك وسأخبرك بمكانه.
حيث يوجد الاستدارة هناك النوم. إذا كانت لدينا بحيرة مستديرة ، فإن التجول حولها يكون 1,57 مرة أطول من السباحة. بالطبع ، هذا لا يعني أننا سنسبح بمعدل مرة ونصف إلى مرتين أبطأ مما سنجتازه. شاركت الرقم القياسي العالمي 100 متر مع الرقم القياسي العالمي 100 متر. ومن المثير للاهتمام ، أن النتيجة عند الرجال والنساء هي نفسها تقريبًا وهي 4,9. نحن نسبح 5 مرات أبطأ مما نجري. التجديف مختلف تمامًا - ولكنه تحدٍ مثير للاهتمام. لديها قصة طويلة جدا.
هربًا من الشرير المطارد ، أبحر الطيب الوسيم والنبيل إلى البحيرة. يجري الشرير على طول الشاطئ وينتظر أن يجعله يهبط. بالطبع ، إنه يركض أسرع من صفوف دوبري ، وإذا ركض بسلاسة ، فإن دوبري أسرع. لذا فإن الفرصة الوحيدة لـ Evil هي الحصول على الخير من الشاطئ - التسديدة الدقيقة من المسدس ليست خيارًا ، لأن. جيد لديه معلومات قيمة يريد الشر أن يعرفها.
يلتزم جيد بالاستراتيجية التالية. يسبح عبر البحيرة ، ويقترب تدريجيًا من الشاطئ ، ولكنه يحاول دائمًا أن يكون على الجانب الآخر من Evil One ، الذي يركض بشكل عشوائي إلى اليسار ، ثم إلى اليمين. هذا موضح في الشكل. دع الشر يبدأ موقف Z1، ودوبر وسط البحيرة. عندما ينتقل Zly إلى Z1، سوف يسبح الخير إلى د.1عندما يكون Bad في Z2جيد في د2. سوف يتدفق بطريقة متعرجة ، ولكن وفقًا للقاعدة: إلى أقصى حد ممكن من Z. ومع ذلك ، عندما يتحرك بعيدًا عن مركز البحيرة ، يجب أن يتحرك Good في دوائر أكبر وأكبر ، وفي مرحلة ما لا يمكن أن يتحرك التمسك بمبدأ "أن تكون في الجانب الآخر من الشر". ثم جذف بكل قوته إلى الشاطئ ، على أمل ألا يتجاوز الشرير البحيرة. هل سينجح الخير؟
تعتمد الإجابة على مدى السرعة التي يمكن أن يجادل بها Good فيما يتعلق بقيمة أرجل Bad. افترض أن الرجل السيئ يجري بسرعة أكبر من سرعة الرجل الطيب على البحيرة. وبالتالي ، فإن الدائرة الأكبر ، التي يستطيع الخير التجديف عليها من أجل مقاومة الشر ، يكون نصف قطرها مرة واحدة أصغر من نصف قطر البحيرة. لذلك ، في الرسم لدينا. عند النقطة W ، يبدأ Kind في التجديف نحو الشاطئ. هذا يجب أن يذهب
بسرعة
يحتاج إلى وقت.
الشرير يطارد أفضل قدميه. يجب أن يكمل نصف الدائرة ، الأمر الذي سيستغرق ثوانٍ أو دقائق ، اعتمادًا على الوحدات المختارة. إذا كانت هذه أكثر من مجرد نهاية سعيدة:
الصالح سيذهب. تظهر الحسابات البسيطة ما يجب أن تكون عليه. إذا كان الرجل السيئ يعمل أسرع من الرجل الطيب 4,14 مرة ، فلن ينتهي الأمر بشكل جيد. وهنا أيضًا ، يتدخل عددنا pi.
ما هو دائري جميل. دعونا نلقي نظرة على صورة ثلاث لوحات زخرفية - لدي بعد والدي. ما مساحة المثلث المنحني بينهما؟ هذه مهمة بسيطة. الجواب في نفس الصورة. نحن لسنا مندهشين من ظهورها في الصيغة - بعد كل شيء ، حيث يوجد الاستدارة ، يوجد pi.
لقد استخدمت كلمة ربما تكون غير مألوفة:. هذا هو اسم الرقم pi في الثقافة الناطقة بالألمانية ، وكل هذا بفضل الهولنديين (في الواقع ألماني يعيش في هولندا - لم تكن الجنسية مهمة في ذلك الوقت) ، لودولف من سيول... في عام 1596 ز. قام بحساب 35 رقمًا من توسعه إلى عدد عشري. استمر هذا السجل حتى عام 1853 ، عندما وليام رذرفورد أحصى 440 مقعدا. صاحب السجل للحسابات اليدوية هو (على الأرجح إلى الأبد) وليام شانكسالذي ، بعد سنوات عديدة من العمل ، نُشر (عام 1873) تمتد حتى 702 رقمًا. فقط في عام 1946 ، تم العثور على آخر 180 رقمًا غير صحيحة ، لكنها ظلت كذلك. 527 صحيح. كان من المثير للاهتمام العثور على الخطأ نفسه. بعد فترة وجيزة من نشر نتيجة شانكس ، اشتبهوا في أن هناك "خطأ ما" - كان هناك القليل من السبعات قيد التطوير بشكل مثير للريبة. تنص الفرضية التي لم تثبت بعد (ديسمبر 2020) على أن جميع الأرقام يجب أن تظهر بنفس التردد. دفع هذا DT Ferguson إلى مراجعة حسابات Shanks وإيجاد خطأ "المتعلم"!
في وقت لاحق ، ساعدت الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر الناس. صاحب الرقم القياسي الحالي (ديسمبر 2020) هو تيموثي موليكان (50 تريليون منزلة عشرية). استغرقت الحسابات ... 303 يومًا. هيا نلعب: مقدار المساحة التي سيشغلها هذا الرقم ، مطبوعة في كتاب قياسي. حتى وقت قريب ، كان "جانب" النص المطبوع 1800 حرفًا (30 سطرًا في 60 سطرًا). لنقم بتقليل عدد الأحرف وهوامش الصفحة ، وحشر 5000 حرف لكل صفحة ، وطباعة 50 صفحة من الكتب. لذا فإن XNUMX تريليون حرف سيأخذ عشرة ملايين كتاب. ليس سيئا ، أليس كذلك؟
السؤال هو ، ما هو الهدف من هذا الصراع؟ من وجهة نظر اقتصادية بحتة ، لماذا يدفع دافع الضرائب مقابل مثل هذا "الترفيه" للرياضيين؟ الجواب ليس صعبا. أولاً، من سيول اخترع الفراغات للحسابات، ثم مفيدة للحسابات اللوغاريتمية. إذا قيل له: من فضلك ، ابني فراغات ، لكان أجاب: لماذا؟ الأمر بالمثل:. كما تعلم ، لم يكن هذا الاكتشاف عرضيًا تمامًا ، ولكنه مع ذلك نتيجة ثانوية لبحث من نوع مختلف.
ثانياً ، دعنا نقرأ ما يكتبه تيموثي موليكان. هنا نسخة من بداية عمله. يعمل البروفيسور موليكان في مجال الأمن السيبراني ، وباي هي هواية صغيرة لدرجة أنه اختبر للتو نظامه الجديد للأمن السيبراني.
وهذا 3,14159 في الهندسة أكثر من كافٍ ، هذه مسألة أخرى. لنقم بحساب بسيط. كوكب المشتري يبعد عن الشمس 4,774 متر مكعب (مقياس الترب = 1012 متر). لحساب محيط دائرة بنصف قطر كهذا إلى دقة سخيفة تبلغ 1 مليمتر ، يكفي أن تأخذ π = 3,1415926535897932.
تُظهر الصورة التالية ربع دائرة من طوب الليغو. لقد استخدمت 1774 وسادة وكان حوالي 3,08 بي. ليس الأفضل ، لكن ماذا تتوقع؟ لا يمكن أن تتكون الدائرة من مربعات.
بالضبط. من المعروف أن الرقم pi هو مربع دائرة - مشكلة رياضية تنتظر حلها لأكثر من 2000 عام - منذ العصر اليوناني. هل يمكنك استخدام البوصلة والمسطرة لبناء مربع مساحته تساوي مساحة الدائرة المحددة؟
دخل مصطلح "مربع الدائرة" إلى اللغة المنطوقة كرمز لشيء مستحيل. أضغط على المفتاح لأتساءل ، هل هذه محاولة لملء خندق العداء الذي يفصل بين مواطني بلدنا الجميل؟ لكنني بالفعل أتجنب هذا الموضوع ، لأنني ربما أشعر فقط بالرياضيات.
ومرة أخرى نفس الشيء - حل مشكلة تربيع الدائرة لم يظهر بطريقة تجعل مؤلف الحل ، تشارلز ليندمان، في عام 1882 تم إنشاؤه ونجح في النهاية. نعم إلى حد ما ، لكنها كانت نتيجة هجوم من جبهة واسعة. لقد تعلم علماء الرياضيات أن هناك أنواعًا مختلفة من الأرقام. ليس فقط الأعداد الصحيحة والعقلانية (أي الكسور) وغير المنطقية. يمكن أن يكون عدم القدرة على القياس أفضل أو أسوأ. قد نتذكر من المدرسة أن العدد غير النسبي هو 2 ، وهو رقم يعبر عن نسبة طول قطر المربع إلى طول ضلعه. مثل أي رقم غير نسبي ، له امتداد غير محدد. دعني أذكرك أن التوسع الدوري هو خاصية للأرقام المنطقية ، أي الأعداد الصحيحة الخاصة:
هنا يتكرر تسلسل الأرقام 142857 إلى أجل غير مسمى ، ولن يحدث هذا بالنسبة لـ 2 - فهذا جزء من اللاعقلانية. ولكن يمكنك:
(الكسر يستمر إلى الأبد). نرى نمطًا هنا ، لكن من نوع مختلف. Pi ليست حتى شائعة. لا يمكن الحصول عليها من خلال حل معادلة جبرية - أي معادلة لا يوجد فيها جذر تربيعي ولا لوغاريتم ولا دوال مثلثية. يوضح هذا بالفعل أنه غير قابل للبناء - يؤدي رسم الدوائر إلى وظائف تربيعية ، والخطوط - الخطوط المستقيمة - إلى معادلات من الدرجة الأولى.
ربما انحرفت عن الحبكة الرئيسية. فقط تطوير جميع الرياضيات جعل من الممكن العودة إلى الأصول - إلى الرياضيات الجميلة القديمة للمفكرين الذين خلقوا لنا ثقافة الفكر الأوروبية ، وهو أمر مشكوك فيه للغاية من قبل البعض اليوم.
من بين العديد من الأنماط التمثيلية ، اخترت اثنين. أولهم نربطه باللقب جوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716).
لكنه كان معروفًا (نموذجًا ، وليس ليبنيز) للباحث الهندوسي في العصور الوسطى مادهافا من Sangamagram (1350-1425). لم يكن نقل المعلومات في ذلك الوقت رائعًا - كانت اتصالات الإنترنت في كثير من الأحيان عربات التي تجرها الدواب ، ولم تكن هناك بطاريات للهواتف المحمولة (لأن الإلكترونيات لم يتم اختراعها بعد!). الصيغة جميلة ، لكنها غير مجدية للحسابات. من مائة عنصر يتم الحصول على 3,15159 "فقط".
إنه أفضل قليلاً صيغة فييت (واحد من المعادلات التربيعية) ، وصيغته سهلة البرمجة لأن المصطلح التالي في المنتج هو الجذر التربيعي للسابق زائد اثنين.
نعلم أن الدائرة مستديرة. يمكننا القول أن هذه جولة بنسبة 100 بالمائة. سيسأل عالم الرياضيات: ألا يمكن أن يكون الشيء مستديرًا بنسبة 1 في المائة؟ على ما يبدو ، هذا هو تناقض لفظي ، عبارة تحتوي على تناقض خفي ، مثل ، على سبيل المثال ، الجليد الساخن. لكن دعونا نحاول قياس مدى تقريب الأشكال. اتضح أنه يتم الحصول على مقياس جيد من خلال الصيغة التالية ، حيث S هي المنطقة و L هي محيط الشكل. لنكتشف أن الدائرة مستديرة حقًا ، وأن سيجما تساوي 6. مساحة الدائرة هي المحيط. ندخل ... ونرى ما هو الصحيح. كم دائري المربع؟ الحسابات بسيطة للغاية ، ولن أعطيها لهم. خذ مسدس منتظم منقوش في دائرة نصف قطرها. من الواضح أن المحيط هو XNUMX.
عمود
ماذا عن مسدس منتظم؟ محيطها 6 ومساحتها
اذا لدينا
وهو ما يساوي تقريبًا 0,952. السداسي أكثر من 95٪ "دائري".
يتم الحصول على نتيجة مثيرة للاهتمام عند حساب استدارة الملعب الرياضي. وفقًا لقواعد الاتحاد الدولي لألعاب القوى ، يجب أن يبلغ طول المضائق والمنحنيات 40 مترًا ، على الرغم من السماح بالانحرافات. أتذكر أن ملعب بيسليت في أوسلو كان ضيقًا وطويلًا. أكتب "كان" لأنني ركضت عليه (لهواة!) ، ولكن منذ أكثر من XNUMX سنة. دعنا نلقي نظرة:
إذا كان نصف قطر القوس 100 متر ، فإن نصف قطر القوس يكون بالمتر. تبلغ مساحة العشب بالمتر المربع ، والمساحة خارجها (حيث توجد منصات انطلاق) يبلغ إجماليها بالمتر المربع. دعنا نعوض بهذا في الصيغة:
فهل استدارة الملعب الرياضي لها علاقة بمثلث متساوي الأضلاع؟ لأن ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع هو نفس عدد مرات الضلع. إنها مصادفة عشوائية للأرقام ، لكنها لطيفة. أحبها. وماذا عن القراء؟
حسنًا ، من الجيد أن تكون دائرية ، على الرغم من أن البعض قد يعترض لأن الفيروس الذي يصيبنا جميعًا مستدير. على الأقل هذه هي طريقة رسمها.
