سحر عكسي

يكثر الحديث عن "جمال الأضداد"، وليس في الرياضيات فقط. تذكر أن الأعداد المتضادة هي تلك التي تختلف في الإشارة فقط: زائد 7 وناقص 7. مجموع الأعداد المتضادة هو صفر. لكن بالنسبة لنا (أي علماء الرياضيات) فإن الأرقام المتبادلة أكثر إثارة للاهتمام. إذا كان حاصل ضرب الأرقام يساوي 1، فإن هذه الأرقام هي معكوسات لبعضها البعض. كل رقم له ضده، وكل رقم غير الصفر له معكوسه. وعكس المعكوس هو البذرة.

يحدث الانقلاب عندما ترتبط كميتان ببعضهما البعض، بحيث إذا زادت إحداهما، تناقصت الأخرى بمعدل مماثل. "المقابل" يعني أن منتج هذه الكميات لا يتغير. نتذكر من المدرسة: هذا تناسب عكسي. إذا كنت أرغب في الوصول إلى وجهتي في نصف الوقت (أي تقليل الوقت إلى النصف)، فأنا بحاجة إلى مضاعفة سرعتي. إذا قمت بتقليل حجم الوعاء المغلق بالغاز بمقدار n مرة، فسيزداد ضغطه بمقدار n مرة.

في التعليم الابتدائي ، نميز بعناية بين المقارنات التفاضلية والنسبية. "كم تريد مزيدا"؟ - "كم مرة أكثر؟"

وإليكم بعض الفعاليات المدرسية:

وظيفة 1. من بين كميتين موجبتين، الأولى أكبر بخمس مرات من الثانية وفي نفس الوقت أكبر بخمس مرات من الأولى. ما هي أبعاد؟

وظيفة 2. إذا كان هناك رقم واحد أكبر من الثاني بـ 3، والثاني أكبر من الثالث بـ 2، فكم يكون الرقم الأول أكبر من الرقم الثالث؟ إذا كان العدد الموجب الأول ضعف الثاني، والرقم الأول ثلاثة أضعاف الثالث، فكم مرة يكون الرقم الأول أكبر من الثالث؟

وظيفة 3. في المهمة 2، يُسمح فقط بالأعداد الطبيعية. هل الترتيب كما هو موضح هناك ممكن؟

وظيفة 4. من كميتين موجبتين، الأولى أكبر بخمس مرات من الثانية، والثانية أكبر بخمس مرات من الأولى. هل هو ممكن؟

يبدو مفهوم "المتوسط" أو "المتوسط" بسيطًا جدًا. إذا قمت بقيادة الدراجة لمسافة 55 كيلومترًا يوم الاثنين، و45 كيلومترًا يوم الثلاثاء، و80 كيلومترًا يوم الأربعاء، فإن متوسط ​​سرعتي على دراجتي هو 60 كيلومترًا يوميًا. نحن نتفق تمامًا مع هذه الحسابات، على الرغم من أنها غريبة بعض الشيء لأنني لم أقطع مسافة 60 كيلومترًا في يوم واحد. كما أننا نقبل بسهولة حصص الشخص: إذا زار مائتي شخص مطعمًا خلال ستة أيام، فإن متوسط ​​المعدل اليومي هو 33 وثلث شخص. حسنًا!

هناك مشاكل فقط مع الحجم المتوسط. أنا أحب ركوب الدراجات. لذلك استفدت من عرض وكالة السفر "لنذهب معنا" - حيث يقومون بتسليم الأمتعة إلى الفندق ، حيث يركب العميل دراجة لأغراض ترفيهية. يوم الجمعة ، قدت السيارة لمدة أربع ساعات: أول ساعتين بسرعة 24 كم في الساعة. ثم شعرت بالتعب لدرجة أنه خلال اليومين التاليين بمعدل 16 ساعة فقط. ما هو متوسط ​​السرعة لدي؟ بالطبع (24 + 16) / 2 = 20 كم = 20 كم / س.

لكن يوم السبت تركت الأمتعة في الفندق، وذهبت لرؤية أطلال القلعة التي تبعد 24 كيلومترًا، وبعد أن رأيتها عدت. قدت سيارتي لمدة ساعة في اتجاه واحد ثم عدت أبطأ بسرعة 16 كيلومترًا في الساعة. ما هو متوسط ​​سرعتي على الطريق بين الفندق والقلعة والفندق؟ 20 كم في الساعة؟ بالطبع لا. بعد كل شيء، قدت مسافة إجمالية تبلغ 48 كيلومترًا واستغرق الأمر ساعة ("هناك") وساعة ونصف للعودة. 48 كم في ساعتين ونصف، أي. الساعة 48/2,5=192/10=19,2 كم! في هذه الحالة، السرعة المتوسطة ليست الوسط الحسابي، ولكنها توافقية للقيم المعطاة:

ويمكن قراءة هذه الصيغة المكونة من طابقين على النحو التالي: الوسط التوافقي للأعداد الموجبة هو مقلوب الوسط الحسابي لمقلوبها. يظهر معكوس مجموع المعكوسات في العديد من جوقات الواجبات المدرسية: إذا كان أحد العمال يحفر لساعات، والآخر لساعات، فإنهما يعملان معًا ويحفران في الوقت المحدد. تجمع بالماء (واحد في الساعة، والآخر في ست ساعات). إذا كان أحد المقاومتين له R1 والآخر له R2، فإن لهما مقاومة على التوازي. 

إذا كان جهاز كمبيوتر واحد يستطيع حل مشكلة ما في ثوانٍ، وكمبيوتر آخر في ثانية، فعندما يعملان معًا...

قف! هذا هو المكان الذي ينتهي فيه التشبيه، لأن كل شيء يعتمد على سرعة الشبكة: كفاءة الاتصالات. يمكن للعمال أيضًا إعاقة أو مساعدة بعضهم البعض. إذا كان بإمكان شخص واحد أن يحفر بئراً في ثماني ساعات، فهل يستطيع ثمانين عاملاً أن يفعلوا ذلك في 1/10 من الساعة (أو 6 دقائق)؟ إذا قام ستة حمالين بتسليم البيانو إلى الطابق الأول في 6 دقائق، فكم من الوقت سيستغرق أحدهم لإيصال البيانو إلى الطابق الستين؟ إن سخافة مثل هذه المسائل تجعلنا نتذكر محدودية تطبيق جميع الرياضيات على مسائل "الحياة الواقعية".

عزيزي البائع 

لم تعد تستخدم المقاييس. تذكر أنه تم وضع وزن على وعاء من هذه الموازين ، ووضعت البضائع التي يتم وزنها على الأخرى ، وعندما يكون الوزن في حالة توازن ، تزن البضائع بقدر الوزن. بالطبع ، يجب أن يكون كل من ذراعي حمل الوزن بنفس الطول ، وإلا فسيكون الوزن غير صحيح.

صحيح. تخيل مندوب مبيعات لديه وزن وأكتاف غير متساوية. ومع ذلك، فهو يريد أن يكون صادقًا مع العملاء ويزن البضائع على دفعتين. أولاً، يضع وزنًا في إحدى الكفتين وكمية مماثلة من البضائع في الكفة الأخرى، بحيث يكون الميزان متوازنًا. ثم يقوم بعد ذلك بوزن "النصف" الثاني من البضائع بترتيب عكسي، أي أنه يضع الوزن على المقلاة الثانية والبضائع على الأولى. وبما أن اليدين غير متساويتين، فإن النصفين لا يكونان متساويين أبدًا. والبائع مرتاح الضمير، والمشترون يشيدون بصدقه: «ما أزاله هنا أضافه فيما بعد».

ومع ذلك ، دعونا نلقي نظرة فاحصة على سلوك البائع الذي يريد أن يكون صادقًا على الرغم من ثقله غير المستقر. دع أذرع الميزان لها أطوال أ و ب. إذا تم تحميل أحد الأوعية بوزن كيلوغرام والآخر بوزن x ، فإن المقاييس تكون في حالة توازن إذا كانت ax = b في المرة الأولى و bx = a في المرة الثانية. إذن ، الجزء الأول من البضاعة يساوي ب / كيلوغرام ، والجزء الثاني هو أ / ب. الوزن الجيد له أ = ب ، لذلك سيحصل المشتري على 2 كجم من البضائع. دعونا نرى ما يحدث عندما a ≠ b. ثم أ - ب ≠ 0 ومن صيغة الضرب المختصرة لدينا

لقد توصلنا إلى نتيجة غير متوقعة: إن الطريقة التي تبدو عادلة لقياس "المتوسط" في هذه الحالة تعمل لصالح المشتري، الذي يتلقى المزيد من البضائع.

التمرين 5. (مهم، ليس على الإطلاق في الرياضيات!). تزن البعوضة 2,5 ملليجرام، والفيل خمسة أطنان (هذه بيانات صحيحة تمامًا). احسب الوسط الحسابي والهندسي والتوافقي لكتلتي (أوزان) البعوضة والفيل. تحقق من الحسابات ومعرفة ما إذا كان لها أي معنى خارج نطاق التمارين الحسابية. دعونا نلقي نظرة على أمثلة أخرى للحسابات الرياضية التي لا معنى لها في "الحياة الحقيقية". نصيحة: لقد اطلعنا بالفعل على مثال واحد في هذه المقالة. هل هذا يعني أن الطالب المجهول الذي وجدت رأيه على الإنترنت كان على حق: "الرياضيات تخدع الناس بالأرقام"؟

نعم ، أوافق على أنه في عظمة الرياضيات ، يمكنك "خداع" الناس - فكل ثانية من إعلانات الشامبو تقول إنها تزيد من الانتفاخ بنسبة معينة. هل يجب أن نبحث عن أمثلة أخرى للأدوات اليومية المفيدة التي يمكن استخدامها للنشاط الإجرامي؟

جرامات!

عنوان هذا المقطع هو فعل (ضمير المتكلم بصيغة الجمع) وليس اسمًا (جمع اسمي لألف من الكيلوغرام). الانسجام يفترض النظام والموسيقى. بالنسبة لليونانيين القدماء، كانت الموسيقى فرعًا من فروع العلم - ومن المسلم به، إذا قلنا ذلك، أننا ننقل المعنى الحالي لكلمة "علم" إلى وقت ما قبل عصرنا. عاش فيثاغورس في القرن العشرين قبل الميلاد، ولم يقتصر الأمر على أنه لم يكن يعرف الكمبيوتر والهاتف المحمول والبريد الإلكتروني، بل لم يكن يعرف أيضًا من هم روبرت ليفاندوفسكي وميشكو الأول وشارلمان وشيشرون. لم يكن يعرف العربية ولا حتى الأرقام الرومانية (لقد بدأ استخدامها في القرن الخامس قبل الميلاد تقريبًا)، ولم يكن يعرف ما هي الحروب البونيقية... لكنه كان يعرف الموسيقى...

لقد عرف أن معاملات الاهتزاز في الآلات الوترية تتناسب عكسيا مع طول الأجزاء المهتزة من الأوتار. كان يعلم، كان يعلم، لكنه لم يتمكن من التعبير عن الأمر بالطريقة التي نفعلها اليوم.

تكون ترددات اهتزازات الوترين التي تشكل الأوكتاف بنسبة 1: 2 ، أي أن تردد النغمة الأعلى هو ضعف تردد النغمة السفلية. نسبة الاهتزاز الصحيحة للخامس هي 2: 3 ، والرابعة 3: 4 ، والثلث الرئيسي النقي هو 4: 5 ، والثلث الصغرى هو 5: 6. هذه فترات متناغمة لطيفة. ثم هناك نوعان محايدان ، بنسب اهتزاز 6: 7 و 7: 8 ، ثم نغمة متنافرة - نغمة كبيرة (8: 9) ، نغمة صغيرة (9:10). هذه الكسور (النسب) تشبه نسب الأعضاء المتعاقبة في متوالية يسميها علماء الرياضيات (لهذا السبب بالذات) السلسلة التوافقية:

هو مجموع لا نهائي من الناحية النظرية. يمكن كتابة نسبة تذبذبات الأوكتاف على أنها 2: 4 ووضع الخمس بينهما: 2: 3: 4 ، أي أننا سنقسم الأوكتاف إلى خامس ورابع. وهذا ما يسمى بتقسيم المقطع التوافقي في الرياضيات:

أرز. 1. للموسيقي: قسمة الأوكتاف AB على الخامس AC.لعالم الرياضيات: التجزئة التوافقية

ماذا أعني عندما أتحدث (أعلاه) عن مجموع لا نهائي من الناحية النظرية، مثل المتسلسلة التوافقية؟ اتضح أن مثل هذا المبلغ يمكن أن يكون أي عدد كبير، والشيء الرئيسي هو أننا نضيف لفترة كافية. أصبحت المكونات أقل وأقل، ولكن هناك المزيد والمزيد منها. ما الذي يسود؟ هنا ندخل مجال التحليل الرياضي. اتضح أن المكونات استنفدت، ولكن ليس بسرعة كبيرة. سأوضح أنه، مع وجود ما يكفي من المكونات، يمكنني جمع المبلغ:

كبيرة بشكل تعسفي. لنأخذ n = 1024 كمثال، لنجمع الكلمات كما هو موضح في الشكل:

وفي كل قوس كل كلمة أكبر من التي قبلها، ما عدا الأخيرة بالطبع، فهي تساوي نفسها. في الأقواس التالية لدينا 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128 و 512 مكونًا؛ قيمة المجموع في كل قوس أكبر من ½. كل هذا أكثر من 5½. ستظهر الحسابات الأكثر دقة أن هذا المبلغ يبلغ حوالي 7,50918. ليس كثيرًا، ولكن دائمًا، ويمكنك أن ترى أنه بأخذ n أي رقم كبير، يمكنني التغلب على أي رقم. هذا بطيء بشكل لا يصدق (على سبيل المثال، نتجاوز العشرة بالمكونات وحدها) ولكن النمو الذي لا نهاية له دائمًا ما كان يفتن علماء الرياضيات.

رحلة إلى اللانهاية مع سلسلة توافقية

إليك لغزًا لبعض الرياضيات الجادة. لدينا عدد غير محدود من الكتل المستطيلة (ماذا أقول، مستطيلة!) بأبعاد، على سبيل المثال، 4 × 2 × 1. فكر في نظام يتكون من عدة (على تين. 2 - أربعة) كتل مرتبة بحيث يميل الأول بمقدار من طوله ، والثاني من أعلى بمقدار وهكذا ، والثالث بمقدار سدس. حسنًا ، ربما لجعله مستقرًا حقًا ، دعنا نميل الطوب الأول قليلاً. لا يهم بالنسبة للحسابات.

أرز. 2. تحديد مركز الثقل

ومن السهل أيضًا أن نفهم أنه نظرًا لأن الشكل المكون من الكتلتين الأوليين (بالعد من الأعلى) له مركز تناظر عند النقطة B، فإن B هو مركز الثقل. دعونا نحدد هندسيًا مركز ثقل نظام يتكون من ثلاث كتل علوية. حجة بسيطة جدا ستكون كافية هنا. دعونا نقسم عقليًا التركيبة المكونة من ثلاث كتل إلى قسمين علويين وثالث سفلي. ويجب أن يقع هذا المركز على القسم الذي يربط بين مركزي ثقل الجزأين. في أي نقطة في هذه الحلقة؟

هناك طريقتان للتسمية. في الأول سنستخدم ملاحظة أن هذا المركز يجب أن يقع في منتصف الهرم المكون من ثلاث كتل، أي على الخط المستقيم الذي يتقاطع مع الكتلة الثانية الوسطى. في الطريقة الثانية، ندرك أنه بما أن الكتلتين العلويتين لهما كتلة إجمالية ضعف كتلة الكتلة الفردية رقم 3 (أعلاه)، فإن مركز الجاذبية في هذا القسم يجب أن يكون أقرب بمرتين من B إلى المركز S للكتلة الثالثة حاجز. وبالمثل، نجد النقطة التالية: نقوم بتوصيل المركز الموجود للكتل الثلاثة مع المركز S للكتلة الرابعة. يقع مركز النظام بأكمله على ارتفاع 2 وعند النقطة التي تقسم القطعة من 1 إلى 3 (أي بمقدار ¾ طولها).

الحسابات التي سنقوم بها بعد قليل تؤدي إلى النتيجة الموضحة في الشكل. شكل 3. تتم إزالة مراكز الجاذبية المتعاقبة من الحافة اليمنى للكتلة السفلية عن طريق:

وبالتالي، فإن إسقاط مركز ثقل الهرم يكون دائمًا داخل القاعدة. البرج لن يسقط الآن دعونا ننظر تين. 3 ولنستخدم للحظة الكتلة الخامسة من الأعلى كقاعدة (المميزة بلون أكثر إشراقًا). أعلى مائل:

وبالتالي فإن حافتها اليسرى أبعد بمقدار 1 عن الحافة اليمنى للقاعدة. وهنا البديل التالي:

ما هو أكبر أرجوحة؟ ونحن نعلم بالفعل! ليس هناك أعظم! حتى مع أصغر الكتل، يمكنك الحصول على مسافة كيلومتر واحد - لسوء الحظ، رياضيًا فقط: لن تكون الأرض بأكملها كافية لبناء هذا العدد الكبير من الكتل!

أرز. 3. إضافة المزيد من الكتل

الآن الحسابات التي تركناها أعلاه. سنقوم بحساب جميع المسافات "أفقيًا" على المحور السيني، لأن هذا هو كل ما يتعلق الأمر. النقطة أ (مركز ثقل الكتلة الأولى) تقع على بعد نصف من الحافة اليمنى. تقع النقطة B (مركز النظام المكون من كتلتين) على بعد 1/2 من الحافة اليمنى للكتلة الثانية. دع نهاية الكتلة الثانية تكون نقطة البداية (سننتقل الآن إلى الكتلة الثالثة). على سبيل المثال، أين يقع مركز ثقل الكتلة المفردة رقم 1؟ نصف طول هذه الكتلة، وبالتالي يتم إزالتها من النقطة المرجعية لدينا بمقدار 4/3 + 1/2 = 1/4. أين تقع النقطة ج؟ في ثلثي المقطع بين 3/4 و 3/4، أي عند النقطة، نقوم بتغيير نقطة البداية إلى الحافة اليمنى للكتلة الثالثة. ويتم الآن إزالة مركز ثقل النظام ثلاثي الكتل من النقطة المرجعية الجديدة، وهكذا. مركز الثقل ج_n برج مكون من n كتل يبعد 1/2n عن النقطة المرجعية اللحظية، وهي الحافة اليمنى للكتلة الأساسية، أي الكتلة n من الأعلى.

وبما أن سلسلة المقلوبات متباعدة، فيمكننا الحصول على أي اختلاف كبير. فهل يمكن أن يتحقق هذا فعلا؟ إنه مثل برج لا نهاية له من الطوب - عاجلاً أم آجلاً سوف ينهار تحت ثقله. في مخططنا، يعني الحد الأدنى من عدم الدقة في وضع الكتل (والزيادة البطيئة في مجاميع الصفوف الجزئية) أننا لن نتقدم كثيرًا.