إذن لمن ، هذا هو: جرب أين يمكنك - الجزء 2
تناولنا في الحلقة السابقة لعبة السودوكو، وهي لعبة حسابية يتم فيها ترتيب الأرقام بشكل أساسي في أشكال بيانية مختلفة وفقًا لقواعد معينة. الشكل الأكثر شيوعًا هو رقعة الشطرنج 9×9، مقسمة بالإضافة إلى ذلك إلى تسع خلايا 3×3. يجب ضبط الأرقام من 1 إلى 9 بحيث لا تتكرر إما في صف عمودي (يقول علماء الرياضيات: في عمود) أو في صف أفقي (يقول علماء الرياضيات: على التوالي) - علاوة على ذلك، لا يتكررون. كرر داخل أي مربع أصغر.
Na تين. 1 نرى هذا اللغز في نسخة أبسط، وهي عبارة عن مربع 6 × 6 مقسم إلى مستطيلات 2 × 3. أدخل الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6 فيه - بحيث لا تتكرر عموديًا ولا أفقيًا ولا في كل من الأشكال السداسية المحددة.
دعونا نحاول الموضحة في المربع العلوي. هل يمكنك تعبئته بالأرقام من 1 إلى 6 حسب القواعد الموضوعة لهذه اللعبة؟ إنه ممكن - لكنه غامض. دعونا نرى - ارسم مربعًا على اليسار أو مربعًا على اليمين.
يمكننا القول أن هذا ليس أساس اللغز. نحن عادة نفترض أن اللغز له حل واحد. تعد مهمة العثور على قواعد مختلفة للعبة سودوكو "الكبيرة" 9x9 مهمة صعبة وليس هناك فرصة لحلها بالكامل.
اتصال مهم آخر هو النظام المتناقض. لا يمكن إكمال المربع الأوسط السفلي (المربع الذي يحتوي على الرقم 2 في الزاوية اليمنى السفلية). لماذا؟
المرح والخلوات
نحن نلعب. دعونا نستخدم حدس الأطفال. وهم يعتقدون أن الترفيه هو مقدمة للتعلم. دعونا نذهب إلى الفضاء. متضمنة تين. 2 يرى الجميع الشبكة رباعي الوجوهمن الكرات، على سبيل المثال، كرات بينج بونج؟ أذكر دروس الهندسة المدرسية. توضح الألوان الموجودة على الجانب الأيسر من الصورة ما يتم لصقه عند تجميع الكتلة. على وجه الخصوص، سيتم لصق ثلاث كرات زاوية (حمراء) في واحدة. ولذلك، يجب أن يكونوا نفس العدد. ربما 9. لماذا؟ ولما لا؟
أوه لم أقم بصياغة ذلك задачи. يبدو الأمر كالتالي: هل من الممكن كتابة الأرقام من 0 إلى 9 في الشبكة المرئية بحيث يحتوي كل وجه على جميع الأرقام؟ المهمة ليست صعبة، ولكن كم تحتاج إلى أن تتخيل! لن أفسد متعة القراء ولن أعطي حلاً.
وهذا شكل جميل جداً ومستهان به. ثماني السطوح العادية، مبني من هرمين (= هرم) ذات قاعدة مربعة. كما يوحي الاسم، فإن المجسم الثماني له ثمانية وجوه.
هناك ستة رؤوس في المجسم الثماني. إنه يتناقض مكعبالتي لها ستة وجوه وثمانية رؤوس. حواف كلتا الكتل هي نفسها - اثنا عشر لكل منهما. هذا المواد الصلبة المزدوجة - هذا يعني أنه من خلال ربط مراكز وجوه المكعب ، نحصل على ثماني السطوح ، وستعطينا مراكز الوجوه المجسم مكعبًا. أداء كلا النتوءين ("لأنهما مضطران لذلك") صيغة أويلر: مجموع عدد الرءوس وعدد الأوجه يزيد بمقدار 2 عن عدد الأضلاع.
3. مجسم مثمن منتظم في إسقاط متوازي وشبكة مجسم مثمن مكونة من كرات بحيث يكون لكل حافة أربعة مجالات.
وظيفة 1. أولاً، اكتب الجملة الأخيرة من الفقرة السابقة باستخدام صيغة رياضية. على تين. 3 ترون شبكة ثماني السطوح، مكونة أيضًا من مجالات. كل حافة لها أربع كرات. كل وجه عبارة عن مثلث من عشرة مجالات. يتم تحديد المشكلة بشكل مستقل: هل من الممكن وضع الأرقام من 0 إلى 9 في دوائر الشبكة بحيث يحتوي كل جدار بعد لصق جسم صلب على جميع الأرقام (يتبع ذلك دون تكرار). كما كان من قبل، فإن الصعوبة الأكبر في هذه المهمة هي كيفية تحويل الشبكة إلى جسم صلب. لا أستطيع أن أشرح ذلك كتابيًا، لذلك لا أقدم الحل هنا أيضًا.
4. اثنان من الأشكال العشرونية من كرات بينج بونج. لاحظ نظام الألوان المختلفة.
قد أفلاطون (وعاش في القرنين الخامس والرابع قبل الميلاد) كان يعرف جميع متعددات الوجوه المنتظمة: رباعي السطوح، المكعب، المجسم الثُماني، الاثني عشر وجها i متعدد الوجوه. إنه لأمر مدهش كيف وصل إلى هناك - لا قلم رصاص ولا ورق ولا قلم ولا كتب ولا هاتف ذكي ولا إنترنت! لن أتحدث عن الاثني عشر الوجوه هنا. لكن سودوكو عشروني الوجوه مثير للاهتمام. نرى هذا المقطوع على التوضيح 4وشبكتها شكل 5.
5. شبكة منتظمة من المجسمات العشرونية.
كما كان من قبل، هذه ليست شبكة بالمعنى الذي نتذكره (؟!) من المدرسة، ولكن طريقة لصق المثلثات من الكرات (الكرات).
وظيفة 2. كم عدد الكرات اللازمة لبناء مثل هذا المجسم العشروني؟ هل يظل المنطق التالي صحيحًا: بما أن كل وجه عبارة عن مثلث، فإذا كان هناك 20 وجهًا، فستكون هناك حاجة إلى ما يصل إلى 60 كرة؟
6. شبكة المجسم العشروني من المجالات. كل دائرة هي، على سبيل المثال، كرة بينج بونج، ولكن بناء الدوائر على الدوائر المميزة بنفس اللون يندمج في دائرة واحدة. إذن لدينا اثنتي عشرة كرة (= اثني عشر رأسًا: الأحمر والأزرق والأرجواني والأزرق وثمانية صفراء).
من السهل أن نرى أن ثلاثة أرقام في المجسم العشروني ليست كافية. بتعبير أدق: من المستحيل تعداد القمم بالأرقام 1، 2، 3 بحيث يكون لكل وجه (مثلث) هذه الأرقام الثلاثة ولا يوجد تكرار. هل من الممكن مع أربعة أرقام؟ نعم هذا ممكن! دعنا ننظر إلى أرز. 6 و 7.
7. إليك كيفية ترقيم المجالات التي يتكون منها المجسم العشروني بحيث يحتوي كل وجه على أرقام غير 1، 2، 3، 4. أي من الأجسام في الشكل. 4 ملون هكذا؟
وظيفة 3. يمكن اختيار ثلاثة من الأرقام الأربعة بأربع طرق: 123، 124، 134، 234. ابحث عن خمسة مثل هذه المثلثات في المجسم العشروني في الشكل. 7( وكذلك من الرسوم التوضيحية 4).
التمرين 4 (يتطلب خيالًا مكانيًا جيدًا جدًا). يحتوي المجسم العشروني على اثني عشر رأسًا، مما يعني أنه يمكن لصقها معًا من اثنتي عشرة كرة (تين. 7). لاحظ أن هناك ثلاث رؤوس (=كرات) تحمل الرقم 1، وثلاثة تحمل الرقم 2، وهكذا. وبالتالي، فإن الكرات من نفس اللون تشكل مثلثًا. ما هو هذا المثلث؟ ربما متساوي الأضلاع؟ انظر مرة أخرى الرسوم التوضيحية 4.
المهمة التالية للجد / الجدة والحفيد / الحفيدة. يمكن للوالدين أخيرًا أن يجربوا أيديهم أيضًا، لكنهم بحاجة إلى الصبر والوقت.
وظيفة 5. قم بشراء اثنتي عشرة كرة بينج بونج (ويفضل 24)، وأربعة ألوان من الطلاء، وفرشاة وغراء مناسب - لا أوصي باستخدام كرات سريعة مثل Superglue أو Droplet لأنها تجف بسرعة كبيرة وتشكل خطرًا على الأطفال. الغراء على الايكوساهيدرون. ألبس حفيدتك قميصًا سيتم غسله (أو التخلص منه) بعد ذلك مباشرة. قم بتغطية الطاولة بورق الألمنيوم (يفضل بالصحف). قم بتلوين المجسم العشروني بعناية بأربعة ألوان 1، 2، 3، 4، كما هو موضح في الشكل. تين. 7. يمكنك تغيير الترتيب - قم أولاً بتلوين البالونات ثم لصقها. في الوقت نفسه ، يجب ترك الدوائر الصغيرة غير مصبوغة حتى لا يلتصق الطلاء بالطلاء.
الآن المهمة الأكثر صعوبة (بتعبير أدق، تسلسلها بأكمله).
التمرين 6 (وبشكل أكثر تحديدا، الموضوع العام). قم برسم المجسم العشروني على هيئة رباعي السطوح ومجسم ثماني السطوح أرز. 2 و 3 هذا يعني أنه يجب أن يكون هناك أربع كرات على كل حافة. في هذا المتغير ، تكون المهمة مستهلكة للوقت وحتى مكلفة. لنبدأ بمعرفة عدد الكرات التي تحتاجها. كل وجه له عشر كرات ، لذا فإن العشريني الوجوه يحتاج إلى مائتي؟ لا! يجب أن نتذكر أن العديد من الكرات مشتركة. كم عدد الحواف التي يمتلكها المجسم العشريني؟ يمكن حسابها بشق الأنفس ، ولكن ما هي صيغة أويلر؟
ث – ك + ق = 2
حيث w، k، s هو عدد القمم والحواف والوجوه على التوالي. نتذكر أن w = 12، s = 20، وهو ما يعني k = 30. لدينا 30 حافة من المجسم العشروني. يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف، لأنه إذا كان هناك 20 مثلثًا، فسيكون لديهم 60 حرفًا فقط، لكن اثنين منهم مشتركان.
دعونا نحسب عدد الكرات التي تحتاجها. يوجد في كل مثلث كرة داخلية واحدة فقط - لا في أعلى الجسم ولا على حافته. وبالتالي، لدينا ما مجموعه 20 من هذه الكرات. هناك 12 قمم. تحتوي كل حافة على كرتين غير قمة الرأس (هما داخل الحافة، ولكن ليس داخل الوجه). بما أن هناك 30 حافة، فهناك 60 كرة، لكن اثنتان منها مشتركتان، مما يعني أنك تحتاج إلى 30 كرة فقط، لذا فأنت بحاجة إلى إجمالي 20 + 12 + 30 = 62 كرة. يمكن شراء الكرات مقابل 50 سنتًا على الأقل (عادةً ما تكون أكثر تكلفة). إذا أضفت تكلفة الغراء، فسوف يخرج ... كثيرا. يتطلب الترابط الجيد عدة ساعات من العمل المضني. إنهما معًا مناسبان لقضاء وقت ممتع - أوصي بهما بدلاً من مشاهدة التلفزيون على سبيل المثال.
تراجع 1. في سلسلة أفلام أندريه وجدة "سنوات، أيام"، يلعب رجلان لعبة الشطرنج "لأن عليهما بطريقة ما قضاء الوقت حتى العشاء". تجري أحداثه في الجاليكية كراكوف. في الواقع: لقد تمت قراءة الصحف بالفعل (ثم كان لديهم 4 صفحات)، ولم يتم اختراع التلفزيون والهاتف بعد، ولا توجد مباريات كرة قدم. الملل في البرك. في مثل هذه الحالة، توصل الناس إلى وسائل الترفيه لأنفسهم. اليوم لدينا لهم بعد الضغط على جهاز التحكم عن بعد ...
تراجع 2. في اجتماع عام 2019 لجمعية معلمي الرياضيات، عرض أستاذ إسباني برنامج كمبيوتر يمكنه طلاء الجدران الصلبة بأي لون. كان الأمر مخيفًا بعض الشيء، لأنهم سحبوا الأيدي فقط، وكادوا أن يقطعوا الجسد. قلت لنفسي: ما مقدار المتعة التي يمكنك الحصول عليها من مثل هذا "التظليل"؟ كل شيء يستغرق دقيقتين، وبحلول الرابعة لا نتذكر أي شيء. وفي الوقت نفسه، فإن "التطريز" القديم يهدئ ويثقف. ومن لا يؤمن فليحاول.
دعونا نعود إلى القرن العشرين وإلى واقعنا. إذا كنا لا نريد الاسترخاء في شكل لصق الكرات الذي يستغرق وقتًا طويلاً، فسنرسم على الأقل شبكة من المجسم العشروني، تحتوي حوافها على أربع كرات. كيف افعلها؟ اقطعها بشكل صحيح شكل 6. القارئ اليقظ يخمن المشكلة بالفعل:
وظيفة 7. فهل يمكن تعداد الكرات ذات الأرقام من 0 إلى 9 بحيث تظهر كل هذه الأرقام على كل وجه من وجوه هذا المجسم العشروني؟
ما الذي يتم دفعه لنا؟
كثيرا ما نسأل أنفسنا اليوم سؤالا عن الغرض من أنشطتنا، وسوف يتساءل "دافع الضرائب الرمادي" لماذا يجب أن يدفع لعلماء الرياضيات لحل مثل هذه الألغاز؟
الجواب بسيط جدا. مثل هذه "الألغاز" المثيرة للاهتمام في حد ذاتها هي "جزء من شيء أكثر خطورة". ففي نهاية المطاف، ليست العروض العسكرية سوى جزء خارجي ومذهل من خدمة صعبة. سأعطي مثالا واحدا فقط، ولكنني سأبدأ بموضوع رياضي غريب ولكنه معترف به دوليا. في عام 1852، سأل طالب إنجليزي أستاذه إذا كان من الممكن تلوين خريطة بأربعة ألوان بحيث تظهر الدول المجاورة دائمًا بألوان مختلفة؟ واسمحوا لي أن أضيف أننا لا نعتبر "جيراناً" أولئك الذين يجتمعون عند نقطة واحدة فقط، مثل ولايتي وايومنغ ويوتا في الولايات المتحدة. الأستاذ لم يكن يعلم... والمشكلة تنتظر الحل منذ أكثر من مائة عام.
8. عشري الوجوه من كتل RECO. تُظهر عاكسات الفلاش القواسم المشتركة بين المجسم العشروني والمثلث والخماسي. تتلاقى خمسة مثلثات في كل قمة.
لقد حدث ذلك بطريقة غير متوقعة. في عام 1976، كتبت مجموعة من علماء الرياضيات الأمريكيين برنامجًا لحل هذه المشكلة (وقرروا: نعم، أربعة ألوان ستكون كافية دائمًا). كان هذا أول دليل على حقيقة رياضية تم الحصول عليها بمساعدة "آلة رياضية" - كما كان يُطلق على الكمبيوتر منذ نصف قرن (وحتى قبل ذلك: "الدماغ الإلكتروني").
هذه "خريطة أوروبا" معروضة خصيصًا (تين. 9). تلك البلدان التي لها حدود مشتركة متصلة. تلوين الخريطة هو نفس تلوين دوائر هذا الرسم البياني (يسمى الرسم البياني) بحيث لا تكون أي دوائر متصلة بنفس اللون. إن نظرة على ليختنشتاين وبلجيكا وفرنسا وألمانيا تظهر أن ثلاثة ألوان ليست كافية. وإن شئت أيها القارئ لونها بأربعة ألوان.
9. من يحد من في أوروبا؟
حسنًا، نعم، ولكن هل يستحق الأمر أموال دافعي الضرائب؟ لذلك دعونا ننظر إلى نفس الرسم البياني بشكل مختلف قليلا. ننسى أن هناك دول وحدود. دع الدوائر ترمز إلى حزم المعلومات التي سيتم إرسالها من نقطة إلى أخرى (على سبيل المثال، من P إلى EST)، وتمثل المقاطع الاتصالات المحتملة، ولكل منها عرض النطاق الترددي الخاص بها. إرسال في أقرب وقت ممكن؟
أولاً، دعونا نلقي نظرة على موقف مبسط جدًا، ولكنه أيضًا مثير جدًا للاهتمام من وجهة نظر رياضية. يجب علينا إرسال شيء ما من النقطة S (= كبداية) إلى النقطة M (= النهاية) باستخدام شبكة من الاتصالات لها نفس عرض النطاق الترددي، على سبيل المثال 1. نرى هذا في تين. 10.
10. شبكة الاتصالات من Statsyika Zdrój إلى Megapolis.
لنتخيل أنه يلزم إرسال حوالي 89 بت من المعلومات من S إلى M. مؤلف هذه الكلمات يحب المشاكل المتعلقة بالقطارات، لذلك يتخيل أنه مدير في Stacie Zdrój، حيث يتعين عليه إرسال 144 عربة منها. إلى محطة العاصمة. لماذا بالضبط 144؟ لأنه، كما سنرى، سيتم استخدام هذا لحساب إنتاجية الشبكة بأكملها. السعة هي 1 في كل قطعة، أي. يمكن لسيارة واحدة أن تمر في وحدة زمنية (بت معلومات واحد، وربما أيضًا جيجابايت).
دعونا نتأكد من أن جميع السيارات تجتمع في نفس الوقت في M. يصل الجميع إلى هناك خلال 89 وحدة زمنية. إذا كان لدي حزمة معلومات مهمة جدًا من S إلى M لإرسالها، فأنا أقوم بتقسيمها إلى مجموعات مكونة من 144 وحدة وأدفعها كما هو مذكور أعلاه. تضمن الرياضيات أن هذا سيكون الأسرع. كيف عرفت أنك بحاجة إلى 89؟ لقد خمنت بالفعل، ولكن إذا لم أخمن، فسيتعين علي اكتشاف ذلك معادلة كيرشوف (هل يتذكر أحد؟ - هذه معادلات تصف تدفق التيار). عرض النطاق الترددي للشبكة هو 184/89 ، والذي يساوي تقريبًا 1,62.
عن الفرح
بالمناسبة، يعجبني الرقم 144. أحببت ركوب الحافلة بهذا الرقم إلى ساحة القلعة في وارسو - عندما لم تكن هناك قلعة ملكية تم ترميمها بجوارها. ربما يعرف القراء الشباب ما هي العشرات. هذه 12 نسخة، لكن القراء الأكبر سنًا فقط هم من يتذكرون تلك العشرات، أي. 122=144، وهذا ما يسمى بالقرعة. وكل من يعرف الرياضيات أكثر بقليل من المناهج المدرسية سيفهم ذلك على الفور تين. 10 لدينا أرقام فيبوناتشي وأن النطاق الترددي للشبكة قريب من "الرقم الذهبي"
في متتابعة فيبوناتشي، الرقم 144 هو الرقم الوحيد الذي يعتبر مربعًا كاملاً. مائة وأربعة وأربعون هو أيضًا "رقم بهيج". هكذا كان عالم الرياضيات الهندي الهواة داتاتريا راماتشاندرا كابريكار في عام 1955، قام بتسمية الأعداد التي تقبل القسمة على مجموع الأرقام المكونة لها:
إذا كان يعرف ذلك آدم ميسكافيجمن المؤكد أنه كتب "لا" في دزيادي: "من أم غريبة. دمه أبطاله القدامى / واسمه أربعة وأربعون ، فقط أكثر أناقة: واسمه مائة وأربعة وأربعون.
خذ الترفيه على محمل الجد
أتمنى أن أكون قد أقنعت القراء بأن ألغاز سودوكو هي الجانب الممتع من الأسئلة التي تستحق بالتأكيد أن تؤخذ على محمل الجد. لا أستطيع تطوير هذا الموضوع أكثر من ذلك. أوه، حساب النطاق الترددي للشبكة بالكامل من الرسم التخطيطي الموضح تين. 9 قد تستغرق كتابة نظام المعادلات ساعتين أو أكثر - وربما حتى عشرات الثواني (!) من عمل الكمبيوتر.
