الأصفار والجواسيس

في ركن الرياضيات اليوم ، سألقي نظرة على موضوع ناقشته في المعسكر العلمي السنوي للأطفال التابع لمؤسسة الأطفال الوطنية. تبحث المؤسسة عن الأطفال والشباب ذوي الاهتمامات العلمية. ليس عليك أن تكون موهوبًا للغاية ، ولكن يجب أن يكون لديك "خط علمي". درجات المدرسة جيدة جدا ليست مطلوبة. جربه ، قد يعجبك. إذا كنت طالبًا في مدرسة ابتدائية أو طالبًا ثانويًا ، فتقدم بطلب. عادة ما يقوم الآباء أو المدرسة بإعداد التقارير ، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا. ابحث عن موقع المؤسسة على الإنترنت واكتشف ذلك.

هناك المزيد والمزيد من الحديث في المدرسة عن "البرمجة" ، في إشارة إلى النشاط المعروف سابقًا باسم "البرمجة". هذا إجراء شائع للمعلمين النظريين. إنهم ينقبون عن الأساليب القديمة ، ويعطونهم اسمًا جديدًا ، ويتم تحقيق "التقدم" من تلقاء نفسه. هناك العديد من المجالات التي تحدث فيها هذه الظاهرة الدورية.

يمكن أن نستنتج أنني أقلل من قيمة الوسائل التعليمية. لا. في تطور الحضارة ، نعود أحيانًا إلى ما كان مهجورًا ويتم إحياؤه الآن. لكن ركننا رياضي وليس فلسفي.

الانتماء إلى مجتمع معين يعني أيضًا "الرموز المشتركة" ، والقراءات المشتركة ، والأقوال والأمثال. الشخص الذي تعلم اللغة البولندية بشكل مثالي "هناك غابة كبيرة في Shchebrzeszyn ، خنفساء تطن في القصب" سيتم الكشف عنها على الفور كجاسوس لدولة أجنبية إذا لم يجيب على سؤال حول ما يفعله نقار الخشب. بالطبع هو خانق!

هذه ليست مجرد مزحة. في ديسمبر 1944 ، شن الألمان هجومهم الأخير في آردين بتكلفة كبيرة. لقد حشدوا الجنود الذين يتحدثون الإنجليزية بطلاقة لتعطيل حركة قوات الحلفاء ، على سبيل المثال من خلال قيادتهم في الاتجاه الخاطئ عند مفترق طرق. بعد لحظة مفاجأة ، بدأ الأمريكيون يسألون الجنود أسئلة مشبوهة ، تكون إجاباتها واضحة لشخص من تكساس أو نبراسكا أو جورجيا ولا يمكن تصورها لمن لم يكبر هناك. الجهل بالحقائق أدى مباشرة إلى الإعدام.

الى حد، الى درجة. أوصي قراء كتاب لوكاس بادوفسكي وزاسلاو أداماشيك "مختبر في درج مكتبي - رياضيات". هذا كتاب رائع يوضح ببراعة أن الرياضيات مفيدة حقًا لشيء ما وأن "تجربة الرياضيات" ليست كلمات فارغة. وهي تتضمن ، من بين أشياء أخرى ، البناء الموصوف لـ "لغز الكرتون" - وهو الجهاز الذي سيستغرق منا XNUMX دقيقة فقط لإنشائه ويعمل كآلة تشفير جادة. كانت الفكرة نفسها معروفة جيدًا ، وقد عمل المؤلفون المذكورون عليها بشكل جميل ، وسأغيرها قليلاً وألفها بملابس رياضية أكثر.

منشارا

في أحد شوارع قريتي الداخلية في ضواحي وارسو ، تم تفكيك الرصيف مؤخرًا من ألواح الرصف السداسية "trlinka". كانت الرحلة غير مريحة ، لكن روح عالم الرياضيات ابتهجت. إن تغطية المستوى بمضلعات منتظمة (أي عادية) ليس بالأمر السهل. يمكن أن يكون فقط مثلثات ومربعات وسداسيات منتظمة.

ربما كنت أمزح قليلاً مع هذا الفرح الروحي ، لكن الشكل السداسي هو شخصية جميلة. من خلاله يمكنك إنشاء جهاز تشفير ناجح إلى حد ما. سوف تساعد الهندسة. يحتوي الشكل السداسي على تناظر دوراني - يتداخل مع نفسه عند تدويره بمضاعفات 60 درجة. حقل تم تمييزه ، على سبيل المثال ، بالحرف "أ" أعلى اليسار تين. 1 بعد الالتفاف عبر هذه الزاوية ، ستقع أيضًا في المربع A - ونفس الشيء مع الأحرف الأخرى. لذلك دعونا نقطع ستة مربعات من الشبكة ، كل منها بحرف مختلف. نضع الشبكة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة على ورقة. في الحقول الستة المجانية ، أدخل ستة أحرف من النص الذي نريد تشفيره. دعونا ندير الورقة 60 درجة. ستظهر ستة حقول جديدة - أدخل الأحرف الستة التالية من رسالتنا.

أرز. 1. Trlinks فرحة الرياضيات.

على اليمين تين. 1 لدينا نص مشفر على هذا النحو: "هناك قاطرة بخارية ضخمة وثقيلة في المحطة".

الآن سيكون القليل من الرياضيات المدرسية في متناول اليد. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب رقمين بالنسبة لبعضهما البعض؟

يا له من سؤال غبي؟ لشخصين: أحدهما في الأمام أو الآخر.

عظيم. وثلاثة أرقام؟

ليس من الصعب أيضًا سرد جميع الإعدادات:

123 ، 132 ، 213 ، 231 ، 312 ، 321.

حسنًا ، إنها لأربعة! لا يزال من الممكن توضيحها بوضوح. خمن قاعدة الترتيب التي أضعها:

1234، 124يناير ٢٠٢٤423 4يناير ٢٠٢٤4، 1342,

1432 4يناير ٢٠٢٤4، 214يناير ٢٠٢٤413 4213

2314، 234يناير ٢٠٢٤431 4يناير ٢٠٢٤4، 3142,

3412 4يناير ٢٠٢٤4، 324يناير ٢٠٢٤421 4321

عندما تكون الأرقام خمسة ، نحصل على 120 إعدادًا ممكنًا. دعنا نسميهم التباديل. عدد التباديل الممكنة للأرقام n هو المنتج 1 2 3 ... n ، المسمى قوي ومعلمة بعلامة تعجب: 3! = 6، 4! = 24، 5! = 120. للرقم 6 التالي لدينا 6! = 720. سنستخدم هذا لجعل درع التشفير السداسي أكثر تعقيدًا.

نختار تبديل الأرقام من 0 إلى 5 ، على سبيل المثال 351042. يحتوي قرص التخليط السداسي الخاص بنا على شرطة في الحقل الأوسط - بحيث يمكن وضعها "في موضع الصفر" - شرطة للأعلى ، كما في الشكل. 1. نضع القرص بهذه الطريقة على ورقة يجب أن نكتب عليها تقريرنا ، لكننا لا نكتبه على الفور ، لكننا نديره ثلاث مرات بمقدار 60 درجة (أي 180 درجة) ونقوم بإدخال ستة أحرف في الحقول الفارغة. نعود إلى نقطة البداية. ندير القرص خمس مرات بمقدار 60 درجة ، أي بخمس "أسنان" من قرصنا. نحن نطبع. موضع المقياس التالي هو موضع تدوير 60 درجة حول الصفر. المركز الرابع هو 0 درجة ، هذا هو وضع البداية.

هل تفهم ما حدث؟ لدينا فرصة إضافية - لتعقيد "آلتنا" بأكثر من سبعمائة مرة! لذلك ، لدينا موقعان مستقلان لـ "التشغيل الآلي" - اختيار الشبكة واختيار التقليب. يمكن اختيار الشبكة بطرق 66 = 46656 ، تبديل 720. هذا يعطي 33592320 إمكانية. أكثر من 33 مليون سيفير! تقريبا أقل قليلا ، لأن لا يمكن قطع بعض الشبكات من الورق.

في الجزء السفلي تين. 1 لدينا رسالة مشفرة مثل هذه: "سأرسل لك أربعة أقسام مظلات." من السهل أن نفهم أنه لا ينبغي السماح للعدو بمعرفة ذلك. لكن هل سيفهم أيًا من هذا:

TPOROPVMANVEORDISZ

سنة

حتى مع التوقيع 351042؟

نحن نبني Enigma ، آلة تشفير ألمانية

أرز. 2. مثال على الإعداد الأولي لجهاز التشفير الخاص بنا.

التباديل (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

كما ذكرت سابقًا ، أنا مدين بفكرة إنشاء مثل هذه الآلة من الورق المقوى لكتاب "Lab in a Drawer - Mathematics". يختلف "بنائي" إلى حد ما عن البناء الذي قدمه مؤلفوه.

كان لآلة التشفير التي استخدمها الألمان أثناء الحرب مبدأ بسيطًا بارعًا ، مشابهًا إلى حد ما لتلك التي رأيناها مع الشفرات السداسية. في كل مرة نفس الشيء: كسر الإحالة الصعبة لرسالة إلى حرف آخر. يجب أن تكون قابلة للاستبدال. كيف نفعل ذلك من أجل السيطرة عليه؟

دعونا لا نختار أي تبديل ، ولكن واحدًا له دورات بطول 2. ببساطة ، شيء مثل "Gaderipoluk" الموصوف هنا قبل بضعة أشهر ، ولكنه يغطي جميع أحرف الأبجدية. دعونا نتفق على 24 حرفًا - بدون، ę، ć، ó، ń، ś، ó، ż، ź، v، q. كم عدد هذه التباديل؟ هذه مهمة لخريجي المدارس الثانوية (يجب أن يكونوا قادرين على حلها على الفور). كم عدد؟ الكثير من؟ عدة آلاف؟ نعم:

1912098225024001185793365052108800000000 (دعونا لا نحاول قراءة هذا الرقم). هناك العديد من الاحتمالات لضبط موضع "الصفر". ويمكن أن يكون صعبًا.

تتكون آلتنا من قرصين دائريين. على واحد منهم ، الذي لا يزال قائما ، كتبت الحروف. إنه يشبه إلى حد ما قرص هاتف قديم ، حيث قمت بالاتصال برقم عن طريق تدوير الاتصال طوال الطريق. الروتاري هو الثاني مع نظام الألوان. أسهل طريقة هي وضعها على سدادة عادية باستخدام دبوس. بدلاً من الفلين ، يمكنك استخدام لوح رفيع أو كرتون سميك. يوصي Lukasz Badowski و Zasław Adamaszek بوضع كلا القرصين في صندوق أقراص مضغوطة.

تخيل أننا نريد تشفير كلمة أرماتي (أرز. 2 و 3). اضبط الجهاز على الموضع الصفري (السهم لأعلى). الحرف A يتوافق مع F. قم بتدوير الدائرة الداخلية حرفًا واحدًا إلى اليمين. لدينا الحرف R المراد ترميزه ، والآن يتوافق مع الحرف A. بعد الدوران التالي ، نرى أن الحرف M يتوافق مع U. - أ. أخيرًا (الدائرة السادسة) Y - Y ربما لن يخمن العدو أن مركبات الكربون الكلورية فلورية لدينا ستكون خطيرة عليه. وكيف ستقرأ "لنا" الرسالة؟ يجب أن يكون لديهم نفس الجهاز ، نفس "مبرمج" ، مع نفس التقليب. يبدأ التشفير من الموضع صفر. لذا فإن قيمة F هي A. أدر القرص في اتجاه عقارب الساعة. أصبح الحرف A الآن مرتبطًا بـ R. وهو يدير الاتصال الهاتفي إلى اليمين وتحت الحرف U يجد M ، وما إلى ذلك. يركض كاتب الشفرات إلى الجنرال: "جنرال ، أنا أبلغ ، الأسلحة قادمة!"

أرز. 3. مبدأ العمل لدينا ورقة لغز.

أرز. 3. مبدأ العمل لدينا ورقة لغز.

إن احتمالات مثل هذا اللغز البدائي مذهلة. يمكننا اختيار تبديلات الإخراج الأخرى. يمكننا - وهناك المزيد من الفرص هنا - ليس من خلال "serif" واحد بانتظام ، ولكن بترتيب معين يتغير يوميًا ، على غرار الشكل السداسي (على سبيل المثال ، الأحرف الثلاثة الأولى ، ثم سبعة ، ثم ثمانية ، وأربعة ... .. الخ).

كيف تحزر ؟! وحتى الآن لعلماء الرياضيات البولنديين (ماريان ريفسكي, هنريك زيجالسكي, إزهي روزيكي) حدث. المعلومات التي تم الحصول عليها على هذا النحو كانت لا تقدر بثمن. في السابق ، كان لهم نفس القدر من الأهمية في تاريخ دفاعنا. فاتسلاف سيربينسكي i ستانيسلاف مازوركيفيتشالذي انتهك قانون القوات الروسية في عام 1920. أعطى الكابل المعترض الفرصة ل Piłsudski للقيام بالمناورة الشهيرة من نهر Vepsz.

أتذكر فاسلاف سيربينسكي (1882-1969). بدا وكأنه عالم رياضيات لم يكن العالم الخارجي موجودًا بالنسبة له. لم يستطع التحدث عن مشاركته في الانتصار عام 1920 لأسباب عسكرية و ... لأسباب سياسية (لم تحب سلطات جمهورية بولندا الشعبية أولئك الذين دافعوا عنا من الاتحاد السوفيتي).

تين. 4. التقليب (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

أرز. 5. زخرفة جميلة ، ولكنها غير مناسبة للتشفير. بإنتظام.

وظيفة 1. Na تين. 4 لديك تقليب آخر لإنشاء إنجما. انسخ الرسم إلى xerograph. بناء سيارة ، رمز اسمك الأول والأخير. CWONUE JTRYGT الخاص بي. إذا كنت تريد الحفاظ على خصوصية ملاحظاتك ، فاستخدم Cardboard Enigma.

وظيفة 2. قم بتشفير اسمك ولقبك لإحدى "السيارات" التي شاهدتها ، ولكن (الانتباه!) مع تعقيد إضافي: لا نحول درجة واحدة إلى اليمين ، ولكن وفقًا للمخطط {1 ، 2 ، 3 ، 2 ، 1 ، 2 ، 3 ، 2 ، 1 ، ....} - أي أولاً بواحد ، ثم باثنين ، ثم بثلاثة ، ثم بمقدار 2 ، ثم مرة أخرى بمقدار 1 ، ثم بمقدار 2 ، وما إلى ذلك ، مثل "الموجة" . تأكد من تشفير اسمي الأول والأخير باسم CZTTAK SDBITH. الآن هل تفهم مدى قوة آلة إنجما؟

حل المشكلات لخريجي الثانوية العامة. كم عدد خيارات التكوين لـ Enigma (في هذا الإصدار ، كما هو موضح في المقالة)؟ لدينا 24 حرفًا. نختار الزوج الأول من الأحرف - يمكن القيام بذلك على

طرق. يمكن اختيار الزوج التالي

طرق وأكثر

إلخ. بعد الحسابات المقابلة (يجب ضرب جميع الأرقام) ، نحصل عليها

151476660579404160000

ثم قسّم هذا الرقم على 12! (مضروب 12) ، لأنه يمكن الحصول على نفس الأزواج بترتيب مختلف. لذلك في النهاية نحصل على "إجمالي"

316234143225

هذا ما يزيد قليلاً عن 300 مليار ، والذي لا يبدو عددًا كبيرًا بشكل مذهل لأجهزة الكمبيوتر العملاقة اليوم. ومع ذلك ، إذا تم أخذ الترتيب العشوائي للتبديلات نفسها في الاعتبار ، فإن هذا الرقم يزيد بشكل كبير. يمكننا أيضًا التفكير في أنواع أخرى من التباديل.

انظر أيضا: