لماذا لا نقسم على صفر؟

قد يتساءل القراء عن سبب تكريس مقال كامل لمثل هذه القضية المبتذلة؟ السبب هو العدد المذهل من الطلاب (!) الذين ينفذون العملية تحت الاسم. وليس الطلاب فقط. أحيانا أمسك والمدرسين. ما الذي سيتمكن طلاب مثل هؤلاء المعلمين من فعله في الرياضيات؟ كان السبب المباشر لكتابة هذا النص هو محادثة مع مدرس لم تكن فيه مشكلة القسمة على الصفر ...

مع الصفر ، نعم ، باستثناء متاعب لا شيء على الإطلاق ، لأننا لا نحتاج حقًا إلى استخدامه في الحياة اليومية. نحن لا نذهب للتسوق من أجل صفر بيض. تبدو عبارة "هناك شخص واحد في الغرفة" طبيعية إلى حد ما ، و "لا يوجد أشخاص" تبدو مصطنعة. يقول اللغويون أن الصفر خارج نظام اللغة.

يمكننا الاستغناء عن الصفر في الحسابات المصرفية أيضًا: فقط استخدم - كما هو الحال في مقياس الحرارة - الأحمر والأزرق للقيم الموجبة والسالبة (لاحظ أنه بالنسبة لدرجة الحرارة ، من الطبيعي استخدام اللون الأحمر للأرقام الموجبة وللحسابات المصرفية. هو العكس ، لأن الخصم يجب أن يطلق تحذيرًا ، لذلك يوصى بشدة باللون الأحمر).

بتضمين الصفر كرقم طبيعي ، نتطرق إلى مشكلة التفاضل أرقام الكاردينال od أسرة. ضمن 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، ... ..

قوة الرقم هي نفس رقم المكان الذي يوجد فيه. بخلاف ذلك ، فهو موجود بالفعل في التسلسل 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، ... ..

يأتي عدد المجموعات الفردية في المرتبة الثانية ، ويأتي عدد المجموعات المكونة من عنصرين في المرتبة الثالثة ، وهكذا. علينا أن نشرح لماذا ، على سبيل المثال ، لا نقوم بترقيم أماكن الرياضيين في المسابقات من الصفر. ثم سيحصل صاحب المركز الأول على ميدالية فضية (ذهب الفائز بالمركز صفر) ، وهكذا. تم استخدام إجراء مشابه إلى حد ما في كرة القدم - لا أعرف ما إذا كان القراء على علم بأن "الدوري الأول" يعني "اتباع الأفضل". "، ويطلق على الدوري الصفري أن يصبح" الدوري الرئيسي ".

نسمع أحيانًا الحجة التي مفادها أننا بحاجة إلى البدء من نقطة الصفر ، لأنها مناسبة لموظفي تكنولوجيا المعلومات. استمرارًا لهذه الاعتبارات ، يجب تغيير تعريف الكيلومتر - يجب أن يكون 1024 مترًا ، لأن هذا هو عدد البايت في كيلو بايت (سأشير إلى نكتة معروفة لعلماء الكمبيوتر: "ما الفرق بين الطالب المستجد و طالب في علوم الكمبيوتر وطالب في السنة الخامسة في هذه الكلية؟ أن الكيلو بايت تساوي 1000 كيلو بايت ، والأخيرة - أن الكيلومتر هو 1024 مترًا ")!

وجهة نظر أخرى ، والتي يجب أن تؤخذ على محمل الجد ، هي: نحن دائمًا نقيس من الصفر! يكفي أن ننظر إلى أي مقياس على المسطرة ، على المقاييس المنزلية ، حتى على مدار الساعة. نظرًا لأننا نقيس من الصفر ، ويمكن فهم العد على أنه قياس بوحدة بلا أبعاد ، فيجب علينا العد من الصفر.

إنها مسألة بسيطة ، لكن ...

لنترك المنطق العام ونعود إلى القسمة على صفر. الأمر بسيط وسيكون سهلاً لولا ... فماذا في ذلك؟ دعونا نفكر ونحاول. كم يمكن أن يكون - واحد مقسومًا على صفر؟ لنرى: 1/0 = x. اضرب كلا الطرفين في مقام الطرف الأيسر.

نحصل على 1 = 0. هل هناك شيء خاطيء! ماذا حدث؟ آه خمن! الافتراض بوجود حاصل قسمة للوحدة والصفر يؤدي إلى تناقض. وإذا كان لا يمكن القسمة على صفر ، فيمكن لعدد آخر. إذا هزت كتفيك يا ريدر وتتساءل لماذا يكتب المؤلف (أي أنا) عن مثل هذه التفاهات ، إذن ... أنا سعيد جدًا!

يمكن الدفاع عن الصيغة 0/0 = 0 على أساس عنيد ، لكنها تتعارض مع القاعدة القائلة بأن نتيجة قسمة رقم في حد ذاته تساوي واحدًا. بالتأكيد ، لكن هناك رموز مختلفة تمامًا مثل 0/0 و ° / ° وما شابه ذلك في حساب التفاضل والتكامل. لا تعني أي رقم ، ولكنها تسميات رمزية لتسلسلات معينة من أنواع معينة.

في أحد كتب الهندسة الكهربائية ، وجدت مقارنة مثيرة للاهتمام: القسمة على الصفر لا تقل خطورة عن الكهرباء ذات الجهد العالي. هذا أمر طبيعي: ينص قانون أوم على أن نسبة الجهد إلى المقاومة تساوي التيار: V = U / R. إذا كانت المقاومة صفرية ، فإن تيارًا لا نهائيًا نظريًا سيتدفق عبر الموصل ، محترقًا جميع الموصلات الممكنة.

ذات مرة كتبت قصيدة عن مخاطر القسمة على صفر لكل يوم من أيام الأسبوع. أتذكر أن أكثر الأيام دراماتيكية كان يوم الخميس ، لكنه أمر مؤسف لكل عملي في هذا المجال.

عندما تقسم شيئًا ما على صفر

يوم الاثنين الباكر جدا

أسبوع ما حدث للتو

لقد فشلت بالفعل فشلا ذريعا.

عندما ظهر الثلاثاء

تضع الصفر في المقام

سأخبرك بعد ذلك ، أنت مخطئ

عالم رياضيات سيء!

عندما من خلال الصفر ، من خلال الانحراف ،

اريد الانقسام يوم الاربعاء

سوف تواجه الكثير من المتاعب

لديك التبن والماء في رأسك!

كان معنا بارتيك.

كان على خلاف مع القواعد.

يوم الخميس ، يقبل القسمة على صفر.

لم يعد بيننا!

إذا استحوذت عليك رغبة غريبة

اقسم على صفر يوم الجمعة

سأكون صادقًا ، سأكون صادقًا:

بداية سيئة لعطلة نهاية الأسبوع هذه.

عندما يكون الصفر ، في مكان ما يوم السبت

سيكون الفاصل لك (ليس جريئًا)

اركع تحت سور الكنيسة.

هذه هي قيامتك.

هل تريد صفرًا تحت الشرطة ،

جعل عطلة يوم الأحد

إحضار الطباشير ، السبورة السوداء.

اكتب: لا يقبل القسمة على الصفر!

يرتبط الصفر بالفراغ والعدم. في الواقع ، جاء إلى الرياضيات على أنها كمية ، عند إضافتها إلى أي منها ، لا تغيرها: x + 0 = x. ولكن يظهر الصفر الآن في العديد من القيم الأخرى ، وأبرزها مثل بداية النطاق. إذا لم تكن هناك درجة حرارة موجبة ولا صقيع خارج النافذة ، إذن ... هذا صفر ، وهذا لا يعني أنه لا توجد درجة حرارة على الإطلاق. النصب التذكاري من الدرجة الصفرية ليس نصبًا تم هدمه لفترة طويلة وهو ببساطة غير موجود. على العكس من ذلك ، إنه شيء مثل Wawel وبرج إيفل وتمثال الحرية.

حسنًا ، لا يمكن المبالغة في تقدير أهمية الصفر في نظام الموضع. هل تعلم أيها القارئ كم عدد الأصفار التي يمتلكها بيل جيتس في حسابه المصرفي؟ لا أعرف ، لكني أريد النصف. على ما يبدو ، لاحظ نابليون بونابرت أن الناس مثل الأصفار: فهم يكتسبون المعنى من خلال الموقع. في فيلم Andrzej Wajda مع مرور السنين ، مع مرور الأيام ، ينفجر الفنان الشغوف Jerzy: "الفلسطيني هو صفر ، nihil ، لا شيء ، لا شيء ، nihil ، صفر". لكن الصفر يمكن أن يكون جيدًا: "عدم الانحراف عن القاعدة" يعني أن كل شيء يسير على ما يرام ، واستمر في ذلك!

دعنا نعود إلى الرياضيات. يمكن إضافة الصفر وطرحه ومضاعفته مع الإفلات من العقاب. تقول مانيا لـ Anya: "لقد ربحت صفر كيلوغرام". ردت أنيا "وهذا مثير للاهتمام ، لأنني فقدت نفس الوزن". لذلك دعونا نأكل ستة حصص من الآيس كريم ست مرات ، فلن يؤذينا ذلك.

لا يمكننا القسمة على صفر ، لكن يمكننا القسمة على صفر. يمكن توزيع طبق من الزلابية الصفرية بسهولة لمن ينتظرون الطعام. كم سيحصل كل منهما؟

الصفر ليس إيجابيا أو سلبيا. هذا والرقم غير إيجابيи غير سلبي. يفي بالمتباينات x≥0 و x≤0. إن التناقض "شيئًا إيجابيًا" ليس "شيئًا سلبيًا" ، ولكنه "شيء سلبي أو يساوي صفرًا". علماء الرياضيات ، خلافًا لقواعد اللغة ، سيقولون دائمًا أن الشيء "يساوي صفرًا" وليس "صفرًا". لتبرير هذه الممارسة ، لدينا: إذا قرأنا الصيغة x = 0 "x تساوي صفر" ، فسنقرأ x = 1 "x يساوي واحدًا" ، والذي يمكن ابتلاعه ، ولكن ماذا عن "x = 1534267"؟ لا يمكنك أيضًا تعيين قيمة رقمية للحرف 0⁰ولا ترفع الصفر إلى أس سالب. من ناحية أخرى ، يمكنك جذر الصفر حسب الرغبة ... وستكون النتيجة دائمًا صفرًا. 

الدالة الأسية y = a^x، القاعدة الموجبة لـ a ، لا تصبح أبدًا صفرًا. ويترتب على ذلك عدم وجود لوغاريتم صفر. في الواقع ، لوغاريتم من a إلى الأساس b هو الأس الذي يجب رفع القاعدة إليه للحصول على لوغاريتم a. بالنسبة لـ a = 0 ، لا يوجد مثل هذا المؤشر ، ولا يمكن أن يكون الصفر أساس اللوغاريتم. ومع ذلك ، فإن الصفر في "مقام" رمز نيوتن شيء آخر. نحن نفترض أن هذه الاتفاقيات لا تؤدي إلى تناقض.

أدلة كاذبة

تعتبر القسمة على الصفر موضوعًا شائعًا للأدلة الكاذبة ، وهي تحدث حتى لعلماء الرياضيات ذوي الخبرة. اسمحوا لي أن أقدم لكم اثنين من الأمثلة المفضلة لدي. الأول جبري. سوف "أثبت" أن جميع الأرقام متساوية. افترض أن هناك رقمين غير متساويين. لذلك ، أحدهما أكبر من الآخر ، دعنا أ> ب. لنفترض أن c هو الاختلاف بينهما

ج \ uXNUMXd أ - ب. إذن لدينا أ - ب = ج ، ومن أين أ = ب + ج.

نضرب كلا الجزأين الأخير في أ - ب:

a² - ab = ab + ac - b2 - bc.

أترجم ak إلى الجانب الأيسر ، بالطبع أتذكر تغيير العلامة:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

أستبعد العوامل المشتركة:

أ (أ ب ج) \ uXNUMXd ب (أ ب ج) ،

أشارك ولدي ما أريده:

أ = ب.

وفي الواقع أكثر غرابة ، لأنني افترضت أن أ> ب ، وحصلت على ذلك أ = ب. إذا كان من السهل التعرف على "الغش" في المثال أعلاه ، فإن الدليل الهندسي أدناه ليس بهذه السهولة. سأثبت أن ... شبه المنحرف غير موجود. الشكل الذي يطلق عليه عادة شبه منحرف غير موجود.

لكن افترض أولاً أن هناك شيئًا مثل شبه منحرف (ABCD في الشكل أدناه). لها وجهان متوازيان ("القواعد"). دعونا نمد هذه القواعد ، كما هو موضح في الصورة ، حتى نحصل على متوازي الأضلاع. تقسم أقطارها القطر الآخر من شبه المنحرف إلى مقاطع يُشار إلى أطوالها x ، y ، z ، كما في الشكل 1. من تشابه المثلثات المقابلة نحصل على النسب:

حيث نحدد:

أوراز

حيث نحدد:

اطرح جوانب المساواة المميزة بعلامات النجمة:

 بتقصير كلا الجانبين بواسطة x - z ، نحصل على - a / b = 1 ، مما يعني أن a + b = 0. لكن الأرقام a ، b هي أطوال قواعد شبه المنحرف. إذا كان مجموعهم صفرًا ، فسيكونون أيضًا صفرًا. هذا يعني أن شكل شبه منحرف لا يمكن أن يوجد! وبما أن المستطيلات والمعينات والمربعات هي أيضًا شبه منحرف ، إذن ، عزيزي القارئ ، لا توجد معينات ومستطيلات ومربعات أيضًا ...

مثل هذا

تعد مشاركة المعلومات من أكثر الأنشطة الأساسية الأربعة إثارة للاهتمام وتحديًا. هنا ، ولأول مرة ، نواجه ظاهرة شائعة جدًا في مرحلة البلوغ: "خمن الإجابة ، ثم تحقق مما إذا كنت قد خمنت بشكل صحيح". تم التعبير عن هذا بشكل مناسب جدًا بواسطة Daniel K. Dennett ("How to Make Mistakes؟"، in How It is - A Scientific Guide to the Universe، CiS، Warsaw، 1997):

لا تتدخل طريقة "التخمين" هذه في حياتنا البالغة - ربما لأننا نتعلمها مبكرًا والتخمين ليس بالأمر الصعب. من الناحية الأيديولوجية ، تحدث الظاهرة نفسها ، على سبيل المثال ، في الاستقراء الرياضي (الكامل). في نفس المكان ، "نخمن" الصيغة ثم نتحقق مما إذا كان تخميننا صحيحًا. يسأل الطلاب دائمًا: "كيف عرفنا النمط؟ كيف يمكن إخراجها؟ " عندما يسألني الطلاب هذا السؤال ، أحول سؤالهم إلى مزحة: "أعرف هذا لأنني محترف ، لأنني أتقاضى راتبي لأعرف." يمكن الإجابة على الطلاب في المدرسة بنفس الأسلوب ، ولكن بجدية أكبر فقط.

ممارسة. لاحظ أننا نبدأ الجمع والضرب المكتوب بأدنى وحدة ، والقسمة بأعلى وحدة.

مزيج من فكرتين

أشار مدرسو الرياضيات دائمًا إلى أن ما نسميه فصل البالغين هو اتحاد بين فكرتين مختلفتين من الناحية المفاهيمية: Корпус i انفصال.

الاول (Корпус) يحدث في المهام التي يكون فيها النموذج الأصلي هو:

قسمة تقسيم هذه مهام مثل:

؟ (نحتفظ بالأسلوب الأصلي لهذه المشكلة ، المأخوذ من كتيب جوليان زغوزاليتش المنشور في كراكوف عام 1892 - الزلوتي هو الزلوتي رينيش ، العملة التي كانت متداولة في الإمبراطورية النمساوية المجرية حتى بداية القرن التاسع عشر).

الآن ضع في اعتبارك مشكلتين مع أقدم كتاب رياضيات باللغة البولنديةوالد توماس كلوس (1538). هل هي انقسام أم كوبيه؟ قم بحلها بالطريقة التي يجب أن يقوم بها تلاميذ المدارس في القرن التاسع عشر:

(ترجمة من البولندية إلى البولندية: يوجد ربع جالون وأربعة أواني في البرميل. يبلغ حجم القدر أربعة ليترات. اشترى شخص ما 20 برميلًا من النبيذ مقابل 50 زلوتي بولندي للتجارة. وستكون الرسوم والضرائب (المكوس؟) 8 زلوتي. تبيع ربع جالون لتربح 8 زلوتي؟)

الرياضة والفيزياء والتطابق

في بعض الأحيان في الرياضة ، عليك أن تقسم شيئًا ما على صفر (نسبة الهدف). حسنًا ، القضاة يتعاملون معها بطريقة ما. ومع ذلك ، في الجبر المجرد هم على جدول الأعمال. كميات غير صفريةمربع الذي يساوي صفر. يمكن حتى شرحها ببساطة.

ضع في اعتبارك دالة F تربط نقطة (y ، 0) بنقطة في المستوى (x ، y). ما هو F²، هذا هو ، تنفيذ مزدوج لـ F؟ وظيفة الصفر - كل نقطة لها صورة (0,0،XNUMX).

أخيرًا ، الكميات غير الصفرية التي يكون مربعها 0 هي خبز يومي تقريبًا للفيزيائيين ، وأرقام على شكل a + bε ، حيث ε ≠ 0 ، لكن ε² = 0 ، يسميها علماء الرياضيات أرقام مضاعفة. تحدث في التحليل الرياضي والهندسة التفاضلية.

بعد كل شيء ، هناك شيء في الحساب يحتوي على قسمة على صفر في الاسم على الأقل. انها تاتي من التطابق. دع Z تشير إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. قسمة المجموعة Z على p يعني أننا نساوي كل رقم (عدد صحيح) ببعضها البعض ، أي تلك التي يكون اختلافها قابلاً للقسمة. لذلك ، عندما يكون لدينا خمسة أنواع من الأرقام المقابلة للأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 - الباقي المحتمل عند القسمة على 5. تتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

mod عندما يكون الاختلاف مضاعفًا.

بالنسبة إلى = 2 ، لدينا رقمان فقط: 0 و 1. تقسيم الأعداد الصحيحة إلى فئتين من هذا القبيل يعادل تقسيمهما إلى زوجي وفردي. دعنا نستبدلها الآن. يكون الفرق قابلاً للقسمة دائمًا على 1 (أي عدد صحيح يقبل القسمة على 1). هل من الممكن أن تأخذ = 0؟ لنجرب: متى يكون الفرق بين عددين مضاعفًا للصفر؟ فقط عندما يتساوى هذان الرقمان. لذا فإن قسمة مجموعة من الأعداد الصحيحة على صفر أمر منطقي ، لكنه ليس مثيرًا للاهتمام: لا يحدث شيء. ومع ذلك ، يجب التأكيد على أن هذا ليس تقسيمًا للأرقام بالمعنى المعروف من المدرسة الابتدائية.

مثل هذه الأفعال ممنوعة ببساطة ، وكذلك الرياضيات الطويلة والواسعة.

أرز. 2. تحديد الأرقام باستخدام المقارنة

(الشجرة 5 والشجرة 2)