مسارات هندسية وغابة
أثناء كتابة هذا المقال ، تذكرت أغنية قديمة جدًا لـ Jan Pietrzak ، والتي غناها قبل نشاطه الساخر في ملهى Pod Egidą ، المعترف به في جمهورية بولندا الشعبية على أنها صمام أمان ؛ يمكن للمرء أن يضحك بصدق على مفارقات النظام. في هذه الأغنية ، أوصى المؤلف بالمشاركة السياسية الاشتراكية ، سخرًا من أولئك الذين يريدون أن يكونوا غير سياسيين ، وإغلاق المذياع في الصحيفة. غنى بيتشاك ، البالغ من العمر XNUMX ، بسخرية: "من الأفضل العودة إلى المدرسة للقراءة".
سأعود إلى المدرسة للقراءة. أعيد قراءة (ليس للمرة الأولى) كتاب Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". بالنسبة لعدد قليل من القراء ، فإن الكلمة نفسها تقول شيئًا ما. هذا هو اسم ابنة عالم الرياضيات الهندوسي الشهير المعروف باسم Bhaskara (1114-1185) ، المسمى Akaria ، أو الحكيم الذي أطلق على كتابه في الجبر بهذا الاسم. أصبحت ليلافاتي فيما بعد عالمة رياضيات وفيلسوفة مشهورة. وفقًا لمصادر أخرى ، كانت هي التي كتبت الكتاب بنفسها.
أعطى Szczepan Yelensky نفس العنوان لكتابه عن الرياضيات (الطبعة الأولى ، 1926). قد يكون من الصعب تسمية هذا الكتاب بأنه عمل رياضي - فقد كان أشبه بمجموعة من الألغاز ، وأعيد كتابته إلى حد كبير من مصادر فرنسية (لم تكن حقوق النشر بالمعنى الحديث موجودة). على أي حال ، كان لسنوات عديدة الكتاب البولندي الشهير الوحيد في الرياضيات - لاحقًا تمت إضافة كتاب جيلينسكي الثاني ، حلويات فيثاغورس. لذلك لم يكن لدى الشباب المهتمين بالرياضيات (وهو بالضبط ما كنت عليه في السابق) ما يختارونه ...
من ناحية أخرى ، كان لابد من معرفة "ليلافاتي" عن ظهر قلب ... آه ، كانت هناك أوقات ... كانت أكبر ميزة لها أنني كنت ... مراهقًا في ذلك الوقت. اليوم ، من وجهة نظر عالم رياضيات متعلم جيدًا ، أنظر إلى ليلافاتي بطريقة مختلفة تمامًا - ربما مثل متسلق على منحنيات الطريق إلى Shpiglasova Pshelench. لا أحد ولا الآخر يفقد سحره ... في أسلوبه المميز ، يكتب Shchepan Yelensky ، الذي يصرح بما يسمى بالأفكار الوطنية في حياته الشخصية ، في المقدمة:
دون التطرق إلى وصف الخصائص الوطنية ، سأقول إنه حتى بعد تسعين عامًا ، لم تفقد كلمات يلنسكي حول الرياضيات أهميتها. تعلمك الرياضيات التفكير. إنها حقيقة. هل يمكننا تعليمك التفكير بطريقة مختلفة وبساطة وجمال أكثر؟ ربما. إنه فقط ... ما زلنا لا نستطيع. أشرح لطلابي الذين لا يريدون إجراء الرياضيات أن هذا أيضًا اختبار لذكائهم. إذا كنت لا تستطيع تعلم نظرية الرياضيات البسيطة حقًا ، إذن ... ربما تكون قدراتك العقلية أسوأ مما نتمناه ...؟
علامات في الرمال
وهذه هي القصة الأولى في "Lylavati" - قصة وصفها الفيلسوف الفرنسي جوزيف دي مايستر (1753-1821).
ألقت الأمواج بحارًا من سفينة محطمة على شاطئ فارغ ، والذي اعتبره غير مأهول. فجأة ، في الرمال الساحلية ، رأى أثرًا لشكل هندسي مرسوم أمام شخص ما. عندها أدرك أن الجزيرة ليست مهجورة!
نقلا عن دي ميستري ، كتب يلنسكي: الشكل الهندسيكان من الممكن أن يكون تعبيرًا صامتًا عن الصدفة البائسة ، المنكوبة ، لكنه أظهر له في لمحة النسبة والعدد ، وكان هذا ينذر برجل مستنير. الكثير من أجل التاريخ.
لاحظ أن البحار سيتسبب في نفس رد الفعل ، على سبيل المثال ، برسم الحرف K ، ... وأي آثار أخرى لوجود شخص ما. هنا تكون الهندسة مثالية.
ومع ذلك ، اقترح عالم الفلك كاميل فلاماريون (1847-1925) أن الحضارات ترحب ببعضها البعض من مسافة باستخدام الهندسة. لقد رأى في هذا المحاولة الوحيدة الصحيحة والمحتملة للتواصل. دعونا نظهر لمثل هؤلاء المريخ مثلثات فيثاغورس ... سوف يجيبون علينا مع طاليس ، وسوف نجيبهم بأنماط فيتا ، وستكون دائرتهم في مثلث ، لذلك بدأت صداقة ...
عاد الكتاب مثل Jules Verne و Stanislav Lem إلى هذه الفكرة. وفي عام 1972 ، تم وضع بلاطات ذات أنماط هندسية (وليس فقط) على متن مسبار بايونير ، الذي لا يزال يعبر مساحات الفضاء ، والآن ما يقرب من 140 وحدة فلكية منا (1 أنا متوسط المسافة بين الأرض والأرض). الشمس ، أي حوالي 149 مليون كم). تم تصميم البلاط جزئيًا بواسطة عالم الفلك فرانك دريك ، مبتكر القاعدة المثيرة للجدل حول عدد الحضارات خارج كوكب الأرض.
الهندسة مدهشة. نعلم جميعًا وجهة النظر العامة حول أصل هذا العلم. لقد بدأنا (نحن البشر) للتو في قياس الأرض (ولاحقًا الأرض) لأكثر الأغراض نفعية. أصبح تحديد المسافات ورسم الخطوط المستقيمة وتحديد الزوايا القائمة وحساب الأحجام تدريجياً ضرورة. ومن هنا كل شيء علم الهندسة ("قياس الأرض") ، ومن ثم كل الرياضيات ...
ومع ذلك ، فقد خيمت علينا هذه الصورة الواضحة لتاريخ العلم لبعض الوقت. لأنه إذا كانت الرياضيات مطلوبة فقط للأغراض التشغيلية ، فلن نشارك في إثبات نظريات بسيطة. "ترى أن هذا يجب أن يكون صحيحًا على الإطلاق" ، قد يقول المرء بعد التحقق من أن مجموع مربعات الوتر في العديد من المثلثات القائمة يساوي مربع الوتر. لماذا هذه الشكليات؟
يجب أن تكون فطيرة البرقوق لذيذة ، ويجب أن يعمل برنامج الكمبيوتر ، ويجب أن تعمل الآلة. إذا قمت بحساب سعة البرميل ثلاثين مرة وكان كل شيء على ما يرام ، فلماذا غير ذلك؟
في غضون ذلك ، حدث لليونانيين القدماء أنه يجب العثور على بعض الأدلة الرسمية.
لذلك ، تبدأ الرياضيات بطاليس (625-547 قبل الميلاد). من المفترض أن ميليتس هو الذي بدأ يتساءل لماذا. لا يكفي أن يرى الأذكياء شيئًا ما ، وأنهم مقتنعون بشيء ما. لقد رأوا الحاجة إلى البرهان ، وهو تسلسل منطقي للحجج من الافتراض إلى الأطروحة.
كما أرادوا المزيد. ربما كان طاليس هو أول من حاول شرح الظواهر الفيزيائية بطريقة طبيعية ، دون تدخل إلهي. بدأت الفلسفة الأوروبية بفلسفة الطبيعة - بما هو وراء الفيزياء بالفعل (ومن هنا جاء الاسم: الميتافيزيقا). لكن أسس الأنطولوجيا الأوروبية والفلسفة الطبيعية وضعها الفيثاغوريون (فيثاغورس ، حوالي 580 - 500 قبل الميلاد).
أسس مدرسته الخاصة في كروتوني في جنوب شبه جزيرة أبنين - اليوم نسميها طائفة. العلم (بالمعنى الحالي للكلمة) والتصوف والدين والخيال كلها متشابكة بشكل وثيق. قدم توماس مان بشكل جميل دروس الرياضيات في صالة للألعاب الرياضية الألمانية في رواية دكتور فاوست. ترجمت هذه القطعة ماريا كوريتسكايا وويتولد فيربشا:
في كتاب تشارلز فان دورين المثير للاهتمام ، تاريخ المعرفة من فجر التاريخ حتى يومنا هذا ، وجدت وجهة نظر مثيرة جدًا للاهتمام. يصف المؤلف في أحد الفصول أهمية مدرسة فيثاغورس. لقد أذهلني عنوان الفصل ذاته. يقرأ: "اختراع الرياضيات: الفيثاغورس".
غالبًا ما نناقش ما إذا كان يتم اكتشاف النظريات الرياضية (مثل الأراضي غير المعروفة) أو اختراعها (مثل الآلات التي لم تكن موجودة من قبل). يرى بعض علماء الرياضيات المبدعين أنفسهم باحثين ، والبعض الآخر كمخترعين أو مصممين ، في كثير من الأحيان أقل.
لكن مؤلف هذا الكتاب يكتب عن اختراع الرياضيات بشكل عام.
من المبالغة إلى الوهم
بعد هذا الجزء التمهيدي الطويل ، سأنتقل إلى البداية. علم الهندسةلوصف كيف يمكن أن يؤدي الاعتماد المفرط على الهندسة إلى تضليل العالم. يُعرف يوهانس كيبلر في الفيزياء وعلم الفلك بأنه مكتشف القوانين الثلاثة لحركة الأجرام السماوية. أولاً ، يتحرك كل كوكب في النظام الشمسي حول الشمس في مدار بيضاوي الشكل ، تكون الشمس في إحدى بؤرته. ثانيًا ، على فترات منتظمة ، يرسم الشعاع الرئيسي للكوكب ، المأخوذ من الشمس ، حقولا متساوية. ثالثًا ، نسبة مربع فترة ثورة كوكب حول الشمس إلى مكعب المحور شبه الرئيسي لمداره (أي متوسط المسافة من الشمس) ثابتة لجميع الكواكب في النظام الشمسي.
ربما كان هذا هو القانون الثالث - فقد تطلب الكثير من البيانات والحسابات لتأسيسه ، مما دفع كبلر لمواصلة البحث عن أنماط في حركة الكواكب وموقعها. إن تاريخ "اكتشافه" الجديد مفيد للغاية. منذ العصور القديمة ، لم نكن معجبين فقط بمعدلات الوجوه العادية ، ولكن أيضًا الحجج التي تظهر أن هناك خمسة منها فقط في الفضاء. يسمى متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد منتظم إذا كانت وجوهه مضلعات منتظمة متطابقة وكل رأس له نفس عدد الحواف. بشكل توضيحي ، يجب أن يبدو كل ركن من أركان المجسم المنتظم "متماثلاً". أشهر متعدد الوجوه هو المكعب. لقد رأى الجميع الكاحل العادي.
إن رباعي الوجوه العادي أقل شهرة ، ويسمى في المدرسة الهرم الثلاثي العادي. يبدو وكأنه هرم. أما الأشكال المتعددة الوجوه المنتظمة الثلاثة المتبقية فهي أقل شهرة. يتكون المجسم الثماني عندما نقوم بتوصيل مراكز حواف المكعب. يبدو الثنائي الوجوه والعشريني الوجوه بالفعل مثل الكرات. مصنوعة من الجلد الناعم ، ستكون مريحة للحفر. إن المنطق القائل بعدم وجود متعددات الوجوه العادية بخلاف المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة جيد جدًا. أولاً ، ندرك أنه إذا كان الجسم منتظمًا ، فيجب أن يتقارب نفس العدد (دعنا q) من المضلعات المنتظمة المتطابقة عند كل رأس ، فليكن هذا زوايا p. الآن علينا أن نتذكر ما هي الزاوية في المضلع المنتظم. إذا لم يتذكر شخص ما من المدرسة ، فإننا نذكرك بكيفية العثور على النمط الصحيح. أخذنا رحلة قاب قوسين أو أدنى. عند كل رأس نمر بنفس الزاوية a. عندما نلتف حول المضلع ونعود إلى نقطة البداية ، نكون قد قمنا بإجراء p مثل هذه المنعطفات ، وفي المجموع ، استدرنا 360 درجة.
لكن α هي مكمل 180 درجة للزاوية التي نريد حسابها ، وبالتالي فهي كذلك
لقد وجدنا صيغة الزاوية (سيقول عالم الرياضيات: قياسات الزاوية) لمضلع منتظم. دعنا نتحقق: في المثلث ص = 3 ، لا يوجد أ
مثله. عندما يكون p = 4 (مربع) ، إذن
درجات جيدة أيضًا.
ماذا نحصل على البنتاغون؟ إذن ماذا يحدث عندما يكون هناك q مضلعات ، كل p لها نفس الزوايا
درجات تنازلية عند قمة واحدة؟ إذا كانت على مستوى ، فستتشكل زاوية
درجة ولا يمكن أن تكون أكثر من 360 درجة - لأن المضلعات تتداخل بعد ذلك.
ومع ذلك ، نظرًا لأن هذه المضلعات تلتقي في الفضاء ، يجب أن تكون الزاوية أقل من الزاوية الكاملة.
وهنا اللامساواة التي يتبعها كل شيء:
اقسمها على 180 ، واضرب كلا الجزأين في p ، بترتيب (p-2) (q-2) <4. ماذا يلي؟ دعونا ندرك أن p و q يجب أن يكونا أعدادًا طبيعية وأن p> 2 (لماذا؟ وما هو p؟) وأيضًا q> 2. لا توجد طرق عديدة لجعل حاصل ضرب عددين طبيعيين أقل من 4. نحن ندرجها جميعًا في الجدول 1.
لا أنشر رسومات ، يمكن للجميع رؤية هذه الأرقام على الإنترنت ... على الإنترنت ... لن أرفض استطراداً غنائياً - ربما يكون ذلك مثيراً للاهتمام للقراء الشباب. في عام 1970 تحدثت في ندوة. كان الموضوع صعبًا. كان لدي القليل من الوقت للاستعداد ، جلست في المساء. كان المقال الرئيسي للقراءة فقط. كان المكان دافئًا ، مع جو عمل ، حسنًا ، تم إغلاقه الساعة السابعة. ثم عرضت العروس (الآن زوجتي) نفسها إعادة كتابة المقال بالكامل لي: حوالي اثنتي عشرة صفحة مطبوعة. لقد قمت بنسخها (لا ، ليس بقلم ريشة ، بل كان لدينا أقلام) ، كانت المحاضرة ناجحة. حاولت اليوم العثور على هذا المنشور القديم بالفعل. أتذكر فقط اسم المؤلف ... استغرقت عمليات البحث على الإنترنت مدة طويلة ... خمس عشرة دقيقة كاملة. أفكر في الأمر بابتسامة متكلفة وقليل من الأسف غير المبرر.
نعود إلى الهندسة Keplera أنا. على ما يبدو ، تنبأ أفلاطون بوجود النموذج العادي الخامس لأنه يفتقر إلى شيء موحد يغطي العالم كله. ولعل هذا هو السبب في أنه أمر طالبة (تحجيت) بالبحث عنها. كما كان ، هكذا كان ، على أساسه اكتشف الاثني عشر الوجوه. نسمي هذا الموقف من وحدة الوجود لأفلاطون. جميع العلماء ، وصولاً إلى نيوتن ، استسلموا لها بدرجة أكبر أو أقل. منذ القرن الثامن عشر العقلاني للغاية ، تضاءل تأثيرها بشكل كبير ، على الرغم من أننا لا ينبغي أن نخجل من حقيقة أننا جميعًا نستسلم لها بطريقة أو بأخرى.
في مفهوم كبلر لبناء النظام الشمسي ، كان كل شيء صحيحًا ، وتزامنت البيانات التجريبية مع النظرية ، وكانت النظرية متماسكة منطقيًا ، وجميلة جدًا ... ولكنها خاطئة تمامًا. في عصره ، كانت ستة كواكب فقط معروفة: عطارد والزهرة والأرض والمريخ والمشتري وزحل. لماذا يوجد ستة كواكب فقط؟ سأل كبلر. وما هو الانتظام الذي يحدد بعدهم عن الشمس؟ لقد افترض أن كل شيء مرتبط ، هذا الهندسة ونشأة الكون ترتبط ارتباطًا وثيقًا ببعضها البعض. من كتابات الإغريق القدماء ، كان يعلم أنه لم يكن هناك سوى خمسة مجسمات منتظمة. ورأى أن هناك خمسة فراغات بين المدارات الستة. إذن ربما كل من هذه الفراغات الحرة تتوافق مع بعض الأشكال متعددة السطوح العادية؟
بعد عدة سنوات من الملاحظة والعمل النظري ، ابتكر النظرية التالية ، التي ساعدها في حساب أبعاد المدارات بدقة تامة ، والتي قدمها في كتاب "Mysterium Cosmographicum" ، الذي نُشر عام 1596: تخيل كرة عملاقة ، قطرها هو قطر مدار عطارد في حركته السنوية حول الشمس. ثم تخيل أن هذه الكرة بها ثماني أوجه منتظمة عليها ، وكرة عليها ، وعشرشري الوجوه عليها ، وكرة أخرى عليها ، وثنائي الوجوه عليها ، وكرة أخرى عليها ، ورباعي الوجوه عليها ، ثم كرة مرة أخرى ، ومكعب ، وأخيراً ، كرة موصوفة على هذا المكعب.
خلص كبلر إلى أن أقطار هذه المجالات المتتالية كانت أقطار مدارات الكواكب الأخرى: عطارد والزهرة والأرض والمريخ والمشتري وزحل. بدت النظرية دقيقة للغاية. لسوء الحظ ، تزامن هذا مع البيانات التجريبية. وما هو أفضل دليل على صحة نظرية رياضية من تطابقها مع البيانات التجريبية أو بيانات الرصد ، خاصة "المأخوذة من السماء"؟ ألخص هذه الحسابات في الجدول 2. فماذا فعل كبلر؟ حاولت وحاولت حتى نجحت ، أي عندما تزامن التكوين (ترتيب الكرات) والحسابات الناتجة مع بيانات المراقبة. فيما يلي أرقام وحسابات كبلر الحديثة:
يمكن للمرء أن يستسلم لسحر النظرية ويعتقد أن القياسات في السماء غير دقيقة ، وليست الحسابات التي تم إجراؤها في صمت ورشة العمل. لسوء الحظ ، نعلم اليوم أن هناك ما لا يقل عن تسعة كواكب وأن كل مصادفة النتائج هي مجرد مصادفة. الشفقة. كان جميل جدا...
