المربعات الملونة وخسوف الشمس

يصف المقال فصولي لطلاب المدارس المتوسطة - حاملي المنح الدراسية من الصندوق الوطني للأطفال. تبحث المؤسسة عن الأطفال والشباب الموهوبين بشكل خاص (من الصف XNUMX من المدرسة الابتدائية إلى المدرسة الثانوية) وتقدم "منحًا دراسية" للطلاب المختارين. ومع ذلك ، فهي لا تتكون على الإطلاق من سحب النقود ، ولكن في الرعاية الشاملة لتنمية المواهب ، كقاعدة عامة ، على مدى سنوات عديدة. على عكس العديد من المشاريع الأخرى من هذا النوع ، فإن العلماء المشهورين والشخصيات الثقافية والإنسانيين البارزين وغيرهم من الحكماء ، وكذلك بعض السياسيين ، يأخذون على محمل الجد أجنحة المؤسسة.

تمتد أنشطة المؤسسة إلى جميع التخصصات التي هي مواد مدرسية أساسية ، باستثناء الرياضة ، بما في ذلك الفن. تم إنشاء الصندوق في عام 1983 كعلاج للواقع في ذلك الوقت. يمكن لأي شخص أن يتقدم إلى الصندوق (عادةً من خلال المدرسة ، ويفضل أن يكون ذلك قبل نهاية العام الدراسي) ، ولكن ، بالطبع ، هناك غربال معين ، إجراء معين للتأهيل.

كما ذكرت سابقًا ، تستند المقالة إلى فصول الماجستير الخاصة بي ، وتحديداً في غدينيا ، في مارس 2016 ، في المدرسة الإعدادية الرابعة والعشرين في المدرسة الثانوية الثالثة. القوات البحرية. لسنوات عديدة ، تم تنظيم هذه الندوات تحت رعاية المؤسسة من قبل فويتشخ ثومالتشيك ، مدرس الكاريزما غير العادية والمستوى الفكري العالي. في عام 24 ، دخل العشرة الأوائل في بولندا ، الذين حصلوا على لقب أستاذ علم أصول التدريس (المنصوص عليها في القانون منذ سنوات عديدة). هناك مبالغة طفيفة في العبارة: "التعليم محور العالم".

والقمر دائمًا ما تكون رائعة - إذن يمكنك أن تشعر أننا نعيش على كوكب صغير في مساحة ضخمة ، حيث كل شيء يتحرك ، مقاسة بالسنتيمتر والثواني. حتى أنه يخيفني قليلاً ، وكذلك منظور الوقت. نتعلم أن الكسوف الكلي التالي ، المرئي من منطقة وارسو اليوم ، سيكون في ... 2681. أتساءل من سيرى ذلك؟ الأحجام الظاهرة للشمس والقمر في سمائنا هي نفسها تقريبًا - ولهذا السبب فإن الكسوف قصير جدًا ورائع جدًا. لقرون ، يجب أن تكون تلك الدقائق القصيرة كافية لعلماء الفلك لرؤية الإكليل الشمسي. من الغريب أنها تحدث مرتين في السنة ... لكن هذا يعني فقط أنه يمكن رؤيتها في مكان ما على الأرض لفترة قصيرة من الزمن. نتيجة لحركات المد والجزر ، يتحرك القمر بعيدًا عن الأرض - في 260 مليون سنة سيكون بعيدًا جدًا لدرجة أننا (نحن ؟؟؟) لن نرى سوى الخسوف الحلقي.

على ما يبدو أول من توقع كسوف، كان طاليس ميليتس (28-585 قرنا قبل الميلاد). ربما لن نعرف ما إذا كان قد حدث بالفعل ، أي ما إذا كان قد تنبأ به ، لأن حقيقة حدوث الكسوف في آسيا الصغرى في مايو 567 ، 566 قبل الميلاد هي حقيقة أكدتها الحسابات الحديثة. بالطبع ، أستشهد ببيانات لحساب الوقت اليوم. عندما كنت طفلاً ، تخيلت كيف يحسب الناس السنوات. هذا ، على سبيل المثال ، XNUMX قبل الميلاد ، ليلة رأس السنة الجديدة قادمة والناس يبتهجون: فقط XNUMX سنة قبل الميلاد! كم كانوا سعداء عندما حل "عصرنا" أخيرًا! يا له من منعطف من آلاف السنين عشناه قبل بضع سنوات!

رياضيات حساب التواريخ والنطاقات الكسوف، ليس معقدًا بشكل خاص ، ولكنه محشو بجميع أنواع العوامل المرتبطة بالانتظام ، والأسوأ من ذلك ، بالحركة غير المتكافئة للجسم في المدارات. أود حتى أن أعرف هذه الرياضيات. كيف استطاع طاليس من ميليتس إجراء الحسابات اللازمة؟ الجواب بسيط. يجب أن يكون لديك خريطة السماء. كيف تصنع مثل هذه الخريطة؟ عرف المصريون القدماء هذا أيضًا ليس بالأمر الصعب ، كيف يفعلونه. في منتصف الليل ، خرج اثنان من الكهنة إلى سطح المعبد. يجلس كل منهم ويرسم ما يراه (مثل زميله). بعد ألفي عام نعرف كل شيء عن حركة الكواكب ...

هندسة جميلة ، أو متعة على "البساط"

لم يحب اليونانيون الأرقام ، بل لجأوا إلى الهندسة. هذا ما سنفعله. ملكنا كسوف ستكون بسيطة وملونة ولكنها مثيرة للاهتمام وحقيقية. نحن نقبل الاتفاقية التي تنص على أن الشكل الأزرق يتحرك بطريقة تجعله يحجب الرقم الأحمر. دعونا نسمي الشكل الأزرق القمر ، والشكل الأحمر هو الشمس. نسأل أنفسنا الأسئلة التالية:

1. إلى متى يستمر الكسوف ؛
2. عندما يتم تغطية نصف الهدف ؛

   أرز. 1 "سجادة" متعددة الألوان بها الشمس والقمر

3. ما هي التغطية القصوى؟
4. هل من الممكن تحليل اعتماد تغطية الدرع في الوقت المناسب؟ في هذه المقالة (أنا مقيد بكمية النص) سأركز على السؤال الثاني. وراء هذا هندسة جميلة ، ربما بدون حسابات مملة. دعونا نلقي نظرة على الشكل. 1. هل يمكن افتراض أنه سيترافق مع .. كسوف للشمس؟

يجب أن أقول بصدق أن المهام التي سأناقشها سيتم اختيارها بشكل خاص ، وتكييفها مع معارف ومهارات طلاب المدارس المتوسطة والثانوية. لكننا نتدرب على مهام مثل الموسيقيين يلعبون المقاييس ، والرياضيون يقومون بتمارين تنموية عامة. علاوة على ذلك ، أليست مجرد بساط جميل (شكل 1)؟

أرز. 2 قمر "أزرق" وشمس "حمراء"

ستكون أجرامنا السماوية ، على الأقل في البداية ، مربعات ملونة. القمر أزرق ، والشمس حمراء (أفضل للتلوين). مع الحاضر كسوف يطارد القمر الشمس عبر السماء ، ويلحق بها ... ويغلقها. سيكون هو نفسه معنا. أبسط حالة ، عندما يتحرك القمر بالنسبة للشمس ، كما هو موضح في الشكل. 2. يبدأ الخسوف عندما تلامس حافة قرص القمر حافة قرص الشمس (الشكل 2) وينتهي عندما يتجاوزه.

أرز. 3 القمر يقترب قطريا من الشمس

نفترض أن "القمر" يتحرك خلية واحدة لكل وحدة زمنية ، على سبيل المثال ، في الدقيقة. ثم يستمر الكسوف ثماني وحدات زمنية ، ولنقل دقائق. نصف كسوف الشمس خافت تمامًا يتم إغلاق نصف القرص مرتين: بعد دقيقتين و 2 دقائق. الرسم البياني لحجب النسبة المئوية بسيط. خلال أول دقيقتين ، يتم إغلاق الدرع بالتساوي بمعدل صفر إلى 6 ، ويتم تعريضه بنفس المعدل في الدقيقتين التاليتين.

هنا مثال أكثر إثارة للاهتمام (الشكل 3). يقترب القمر من الشمس بشكل مائل. وفقًا لاتفاقية الدفع لكل دقيقة ، يستمر الكسوف لمدة 8 درجات مئوية2 دقائق - في منتصف هذا الوقت لدينا كسوف كلي. دعنا نحسب أي جزء من الشمس مغطى بعد الوقت t (الشكل 3). إذا مرت دقيقة t منذ بداية الخسوف ، ونتيجة لذلك يكون القمر كما هو موضح في الشكل. 5 ، إذن (انتباه!) لذلك ، فهي مغطاة (مساحة المربع APQR) ، تساوي نصف القرص الشمسي ؛ لذلك ، تمت تغطيتها عندما ، أي بعد 4 دقائق (ثم 4 دقائق قبل نهاية الكسوف).

أرز. 4 رسم بياني لوظيفة "التظليل"

الكلية تدوم لحظة واحدة (t = 4√2) ، ويتكون الرسم البياني لوظيفة "الجزء المظلل" من قوسين من القطع المكافئ (الشكل 4).

سوف يلمس قمرنا الأزرق الزاوية بالشمس الحمراء ، لكنه سيغطيها ، ليس بشكل مائل بل بشكل مائل قليلاً. تظهر هندسة مثيرة للاهتمام عندما نعقد الحركة قليلاً (الشكل 6). اتجاه الحركة الآن متجه [4,3،XNUMX] ، أي "أربع خلايا إلى اليمين ، وثلاث خلايا للأعلى". إن موقع الشمس هو أن الخسوف يبدأ (الموضع أ) عندما تتقارب جوانب "الأجرام السماوية" إلى ربع طولها. عندما يتحرك القمر إلى الموضع B ، فإنه سيخسر سدس الشمس ، وفي الموضع C سيخسر نصفه. في الموضع D ، نشهد خسوفًا كليًا ، ثم يعود كل شيء "كما كان".

أرز. 5 جزء من الشمس يختبئ خلال الزمن ر

ينتهي الخسوف عندما يكون القمر في الموضع G طول المقطع AG. إذا أخذنا ، كما في السابق ، كوحدة زمنية الوقت الذي يمر فيه القمر بـ "مربع واحد" ، فإن طول AG يساوي. إذا عدنا إلى التقليد القديم القائل بأن أجرامنا السماوية هي 4 × 4 ، فإن النتيجة ستكون مختلفة (ماذا؟). نظرًا لأنه من السهل إظهار الهدف ، يتم إغلاق الهدف بعد t <15. يمكن رؤية الرسم البياني لوظيفة "النسبة المئوية لتغطية الشاشة" في الشكل. 6.

أرز. 6 رسم بياني لوظيفة "الحماية المئوية"

الكسوف والقفز المعادلة

أرز. 7 انسداد القرص الشمسي أثناء الكسوف كما هو مبين في الشكل. 6

ستكون مشكلة الخسوف غير مكتملة إذا لم نأخذ في الاعتبار حالة الدوائر. هذا الأمر أكثر تعقيدًا ، لكن دعونا نحاول معرفة متى تطغى دائرة على نصف الأخرى - وفي أبسط الحالات ، عندما يتحرك أحدهما على طول القطر الذي يربط بينهما. الرسم مألوف لحاملي بعض بطاقات الائتمان.

يعد حساب موضع الحقول أمرًا معقدًا ، لأنه يتطلب ، أولاً ، معرفة الصيغة الخاصة بمنطقة مقطع دائري ، وثانيًا ، معرفة قوس الزاوية ، وثالثًا (والأسوأ من ذلك كله) ، القدرة لحل معادلة قفزة معينة. لن أشرح ما هي "المعادلة متعدية" ، دعنا نلقي نظرة على مثال (الشكل 8).

أرز. 8 كسوف "كروي"

القسم الدائري هو "الوعاء" الذي يبقى بعد قطع دائرة بخط مستقيم. مساحة هذا الجزء هي S = 1 / 2r²(φ-sinφ) ، حيث r هو نصف قطر الدائرة ، و هي الزاوية المركزية التي يرتكز عليها المقطع (الشكل 8). يمكن الحصول على هذا بسهولة عن طريق طرح مساحة المثلث من مساحة القطاع الدائري.

الحلقة O₁O₂ (المسافة بين مراكز الدوائر) تساوي 2rcosφ / 2 ، والارتفاع (العرض ، "محيط الخصر") h = 2rsinφ / 2. لذا ، إذا أردنا حساب الوقت الذي سيغطي فيه القمر نصف القرص الشمسي ، فنحن بحاجة إلى حل المعادلة: والتي ، بعد التبسيط ، تصبح:

أرز. 9 رسوم بيانية لوظيفتين

يتجاوز حل هذه المعادلات الجبر البسيط - تحتوي المعادلة على كل من الزوايا ووظائفها المثلثية. المعادلة بعيدة عن متناول الطرق التقليدية. لهذا السبب يسمى لتقفز. لننظر أولاً إلى الرسوم البيانية لكل من الدالات ، أي الدوال والوظائف ، ويمكننا قراءة حل تقريبي من هذا الشكل. ومع ذلك ، يمكننا الحصول على تقريب تكراري أو ... استخدام خيار Solver في جدول بيانات Excel. يجب أن يكون كل طالب في المدرسة الثانوية قادرًا على القيام بذلك ، لأنه القرن العشرين. لقد استخدمت أداة Mathematica أكثر تطوراً وإليك الحل الذي نقدمه بأماكن عشرية 20 بدقة غير ضرورية:

SetPrecision [FindRoot [x == Sin [x] + Pi / 2، {x، 2}]، 20] {x⇒2.3098814600100574523}.

أرز. 10 - الرسوم المتحركة للكسوف في matematica

نحول هذا إلى درجات عن طريق الضرب في 180 /. نحصل على 132 درجة و 20 دقيقة و 45 وربع ثانية قوسية. نحسب أن المسافة إلى مركز الدائرة هي O₁O₂ = 0,808 نصف قطر ، و "الخصر" 2,310.