رحلة إلى عالم الرياضيات غير الواقعي
كتبت هذا المقال في إحدى البيئات، بعد محاضرة وممارسة في كلية علوم الكمبيوتر. أدافع عن نفسي ضد انتقادات طلاب هذه المدرسة ومعرفتهم وموقفهم من العلوم، والأهم من ذلك، مهاراتهم التعليمية. هذا... لا أحد يعلمهم.
لماذا أنا دفاعي جدا؟ لسبب بسيط - أنا في سن ربما يكون فيه العالم من حولنا غير مفهوم بعد. ربما أعلمهم تسخير الخيول وإبطال مفعولها ، وليس قيادة السيارة؟ ربما أعلمهم الكتابة بقلم ريشة؟ على الرغم من أن لدي رأيًا أفضل عن شخص ما ، إلا أنني أعتبر نفسي "أتبع" ، ولكن ...
حتى وقت قريب ، في المدرسة الثانوية ، تحدثوا عن الأعداد المركبة. وكان هذا يوم الأربعاء الذي عدت فيه إلى المنزل ، واستقال - لم يتعلم أي من الطلاب تقريبًا ما هو وكيفية استخدام هذه الأرقام. ينظر البعض إلى جميع الرياضيات مثل أوزة على باب مطلي. لكنني فوجئت أيضًا بصدق عندما أخبروني كيف أتعلم. ببساطة ، كل ساعة من المحاضرة عبارة عن ساعتين من الواجب المنزلي: قراءة كتاب مدرسي ، وتعلم كيفية حل المشكلات في موضوع معين ، وما إلى ذلك. بعد التحضير بهذه الطريقة ، نأتي إلى التدريبات ، حيث نقوم بتحسين كل شيء ... من دواعي سروري ، على ما يبدو ، أن الطلاب اعتقدوا أن الجلوس في المحاضرة - غالبًا ما ينظرون من النافذة - يضمن بالفعل دخول المعرفة إلى الرأس.
قف! لبتب. سأصف إجابتي على سؤال تلقيته خلال أحد الفصول الدراسية مع حاملي المنح الدراسية من الصندوق الوطني للأطفال، وهي مؤسسة تدعم الأطفال الموهوبين من جميع أنحاء البلاد. السؤال (أو بالأحرى الاقتراح) كان:
— هل يمكنك أن تخبرنا شيئًا عن الأعداد غير الحقيقية؟
أجبته: "بالطبع".
حقيقة الأرقام
قال فيثاغورس: "الصديق هو أنا آخر، الصداقة هي النسبة بين الرقمين 220 و284". والمقصود هنا أن مجموع قواسم العدد 220 هو 284، ومجموع قواسم العدد 284 هو 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
مصادفة أخرى مثيرة للاهتمام بين الرقمين 220 و284 هي أن أعلى سبعة عشر عددًا أوليًا هي 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، و 59.
مجموعهما 2x220، ومجموع المربعات 59x284.
أولاً. لا يوجد مفهوم "العدد الحقيقي". بعد قراءة مقال عن الأفيال ، تسأل ، "الآن سنطلب من غير الأفيال." هناك كلي وغير كلي ، عقلاني وغير عقلاني ، لكن ليس هناك غير واقعي. خاصة: الأرقام غير الحقيقية لا تسمى غير صالحة. هناك أنواع عديدة من "الأرقام" في الرياضيات، وهي تختلف عن بعضها البعض، مثل - على سبيل المقارنة الحيوانية - الفيل ودودة الأرض.
ثانيًا ، سنجري عمليات قد تعلم بالفعل أنها ممنوعة: استخراج الجذور التربيعية للأرقام السالبة. حسنًا ، ستتغلب الرياضيات على مثل هذه الحواجز. هل هذا منطقي بالرغم من ذلك؟ في الرياضيات ، كما هو الحال في أي علم آخر ، يعتمد ما إذا كانت النظرية تدخل إلى الأبد في مستودع المعرفة ... على تطبيقها. إذا كان عديم الفائدة ، فإنه ينتهي به المطاف في سلة المهملات ، ثم في نفايات تاريخ المعرفة. بدون الأرقام التي أتحدث عنها في نهاية هذا المقال ، من المستحيل تطوير الرياضيات. لكن لنبدأ ببعض الأشياء الصغيرة. ما هي الأرقام الحقيقية ، كما تعلم. يملأ خط الأعداد بشكل كثيف وبدون فراغات. أنت تعرف أيضًا ما هي الأعداد الطبيعية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، …… .. - جميعها لن تتناسب مع الذاكرة حتى الأعظم. لديهم أيضًا اسم جميل: طبيعي. لديهم الكثير من الخصائص المثيرة للاهتمام. كيف تحب هذا:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
قال كارل ليندنهولم: "من الطبيعي الاهتمام بالأعداد الطبيعية"، وعبّر ليوبولد كرونيكر (1823-1891) عن الأمر بإيجاز: "لقد خلق الله الأعداد الطبيعية، وكل شيء آخر هو من عمل الإنسان!" الكسور (التي يطلق عليها علماء الرياضيات الأعداد النسبية) لها أيضًا خصائص مذهلة:
وفي المساواة:
يمكنك البدء من الجانب الأيسر وفرك الإيجابيات واستبدالها بعلامات الضرب - وستظل المساواة صحيحة:
وهلم جرا.
كما تعلم، بالنسبة للكسور a/b، حيث a وb أعداد صحيحة، وb ≠ 0، يقولون رقم منطقي. لكن فقط باللغة البولندية يطلقون على أنفسهم ذلك. يتحدثون الإنجليزية والفرنسية والألمانية والروسية. رقم منطقي. باللغة الإنجليزية: الأعداد النسبية. أرقام غير منطقية إنه غير عقلاني، غير عقلاني. نحن نتحدث أيضًا باللغة البولندية عن النظريات والأفكار والأفعال غير العقلانية - وهذا جنون وهمي ولا يمكن تفسيره. يقولون أن النساء يخافن من الفئران - أليس هذا غير عقلاني؟
في العصور القديمة، كان للأرقام روح. كل منهم يعني شيئًا ما، كل منهم يرمز إلى شيء ما، كل منهم يعكس جزءًا من تناغم الكون، أي الكون في اليونانية. كلمة "الكون" ذاتها تعني بالضبط "النظام، النظام". أهمها ستة (الرقم المثالي) وعشرة، مجموع الأرقام المتتالية 1+2+3+4، المكونة من أرقام أخرى لا تزال رمزيتها قائمة حتى يومنا هذا. لذلك علم فيثاغورس أن الأرقام هي بداية ومصدر كل شيء، والاكتشاف فقط أرقام غير منطقية حولت حركة فيثاغورس نحو الهندسة. ونحن نعرف المنطق من المدرسة ذلك
√2 عدد غير نسبي
لنفترض أن هناك: وأن هذا الكسر لا يمكن تخفيضه. على وجه الخصوص، كل من p وq غريبان. دعونا مربع: 2Q2=p2. الرقم p لا يمكن أن يكون فرديًا ، منذ ذلك الحين ص2 سيكون أيضًا ، والجانب الأيسر من المساواة هو مضاعف 2. ومن ثم ، فإن p زوجي ، أي ، p = 2r ، ومن ثم p2= 4 ص2. نقوم بتقليل المعادلة 2q2= 4 ص2 بواسطة 2. نحصل على س2= 2 ص2 ونرى أن q يجب أن يكون زوجيًا أيضًا، وهو ما افترضنا أنه ليس كذلك. التناقض الناتج يكمل الدليل - يمكن العثور على هذه الصيغة في كثير من الأحيان في كل كتاب رياضي. هذا الدليل الظرفية هو خدعة مفضلة لدى السفسطائيين.
هذه الضخامة لم يستطع الفيثاغوريون فهمها. يجب أن يكون كل شيء قابلاً للوصف بالأرقام، وقطر المربع، الذي يمكن لأي شخص أن يرسمه بعصا على الرمال، ليس له طول قابل للقياس. يبدو أن الفيثاغوريين يقولون: "كان إيماننا عبثًا". كيف ذلك؟ إنه نوع من... غير عقلاني. وحاول الاتحاد إنقاذ نفسه بالطرق الطائفية. أي شخص يجرؤ على الكشف عن وجودهم أرقام غير منطقية، كان من المقرر أن يُعاقب بالإعدام، ويبدو أن الجملة الأولى نفذها السيد نفسه.
لكن "الفكرة مرت سالمة". لقد وصل العصر الذهبي. هزم اليونانيون الفرس (ماراثون 490، بلوك 479). وتم تعزيز الديمقراطية، وظهرت مراكز جديدة للفكر الفلسفي ومدارس جديدة. كان الفيثاغوريون لا يزالون يعانون من الأعداد غير المنطقية. بشر البعض: لن نفهم هذا السر؛ لا يسعنا إلا أن نتأمل ونتعجب من لعبة Uncharted. كان الأخيرون أكثر واقعية ولم يحترموا اللغز. في ذلك الوقت، ظهر بنائان عقليان جعلا من الممكن فهم الأعداد غير المنطقية. إن حقيقة أننا نفهمها جيدًا اليوم تعود إلى Eudoxus (القرن الخامس قبل الميلاد)، ولم يمنح عالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديديكيند إلا في نهاية القرن التاسع عشر نظرية Eudoxus التطوير المناسب وفقًا لمتطلبات التدقيق الصارم. المنطق الرياضي.
كتلة من الشخصيات أو التعذيب
هل يمكنك العيش بدون أرقام؟ حتى لو كانت الحياة ... سيتعين علينا الذهاب إلى المتجر لشراء أحذية بعصا ، والتي قمنا بقياس طول القدم في السابق. "أود التفاح ، آه ، ها هو!" - نعرض البائعين في السوق. "كم تبعد المسافة من Modlin إلى Nowy Dwur Mazowiecki"؟ "قريب كفاية!"
تستخدم الأرقام للقياس. بمساعدتهم ، نعبر أيضًا عن العديد من المفاهيم الأخرى. على سبيل المثال ، يوضح مقياس الخريطة مدى انخفاض مساحة الدولة. المقياس من اثنين إلى واحد ، أو ببساطة 2 ، يعبر عن حقيقة أن شيئًا ما قد تضاعف في الحجم. دعنا نقول رياضيًا: كل تجانس يتوافق مع رقم - مقياسه.
مهمة. لقد صنعنا نسخة زيروغرافية، وقمنا بتكبير الصورة عدة مرات. ثم تم تكبير الجزء الموسع مرة أخرى ب مرات. ما هو مقياس التكبير العام؟ الجواب: أ × ب مضروبا في ب. هذه المقاييس تحتاج إلى أن تتضاعف. الرقم "ناقص واحد"، -1، يتوافق مع دقة واحدة متمركزة، أي يتم تدويرها بمقدار 180 درجة. ما هو الرقم الذي يتوافق مع دوران 90 درجة؟ لا يوجد مثل هذا الرقم. إنه كذلك... أو بالأحرى، سيكون قريباً. هل أنت مستعد للتعذيب الأخلاقي؟ تحلى بالشجاعة وخذ الجذر التربيعي لناقص واحد. أنا أستمع إلى؟ ماذا لا تستطيع؟ بعد كل شيء، قلت لك أن تكون شجاعا. اسحبه خارجا! مرحبًا، حسنًا، اسحب، اسحب... سأساعدك... هنا: -1 الآن بعد أن حصلنا عليها، دعونا نحاول استخدامها... بالطبع، الآن يمكننا استخراج جذور جميع الأعداد السالبة، مثال.:
√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1
"بغض النظر عن الألم النفسي الذي يترتب عليه". هذا ما كتبه جيرولامو كاردانو عام 1539 ، في محاولة للتغلب على الصعوبات العقلية المرتبطة - كما سرعان ما أطلق عليها - كميات خيالية. واعتبر هؤلاء...
...مهمة. قسّم 10 إلى جزأين ، حاصل ضربهما 40. أتذكر أنه كتب شيئًا كالتالي من الحلقة السابقة: بالتأكيد مستحيل. ومع ذلك ، لنفعل هذا: قسّم 10 إلى جزأين متساويين ، كل منهما يساوي 5. اضربهما - اتضح أنه 25. من الناتج 25 ، اطرح الآن 40 ، إذا أردت ، وستحصل على -15. انظر الآن: √-15 مضافة وطرح من 5 يعطيك حاصل ضرب 40. هذه هي الأرقام 5-√-15 و 5 +-15. تم التحقق من النتيجة من قبل كاردانو على النحو التالي:
"بغض النظر عن وجع القلب الذي يسببه ، اضرب 5 +-15 في 5-√-15. نحصل على 25 - (-15) ، وهو ما يساوي 25 + 15. إذن ، حاصل الضرب هو 40 .... إنه أمر صعب حقًا ".
حسنًا، كم يساوي: (1 + √-1) (1-√-1)؟ دعونا نتضاعف. تذكر أن √-1 × √-1 = -1. عظيم. الآن مهمة أكثر صعوبة: من a + b√-1 إلى ab√-1. ماذا حدث؟ بالتأكيد، هكذا: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
ما المثير للاهتمام في هذا؟ على سبيل المثال، حقيقة أنه يمكننا تحليل التعبيرات التي "لم نكن نعرفها من قبل". صيغة الضرب المختصرة ل2-b2 هل تتذكر الصيغة ل2+b2 لم يكن كذلك، لأنه لا يمكن أن يكون. في مجال الأعداد الحقيقية، كثير الحدود2+b2 إنه أمر لا مفر منه. دعنا نشير إلى الجذر التربيعي لـ "ناقص واحد" بالحرف i.2= -1. إنه رقم أولي "غير واقعي". وهذا ما يصف دوران الطائرة بمقدار 90 درجة. لماذا؟ بعد كل ذلك،2= -1 ، والجمع بين دوران واحد بزاوية 90 درجة ودوران آخر بزاوية 180 درجة يعطي دورانًا بمقدار 45 درجة. ما هو نوع الدوران الموصوف؟ من الواضح أن الدوران XNUMX درجة. ماذا يعني ال -i؟ الأمر أكثر تعقيدًا:
(-أنا)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
إذن -i يصف أيضًا دورانًا بمقدار 90 درجة، في الاتجاه المعاكس لدوران i. أيهما بقي وأيهما على اليمين؟ يجب عليك تحديد موعد. نحن نفترض أن الرقم i يحدد الدوران في الاتجاه الذي يعتبره علماء الرياضيات إيجابيًا: عكس اتجاه عقارب الساعة. يصف الرقم -i الدوران في الاتجاه الذي تتحرك فيه المؤشرات.
لكن هل الأرقام مثل i و -i موجودة؟ نكون! لقد جلبناهم إلى الحياة للتو. أنا أستمع إلى؟ أنها موجودة فقط في رؤوسنا؟ حسنا ماذا تتوقع؟ جميع الأرقام الأخرى موجودة أيضًا في أذهاننا فقط. نحن بحاجة لمعرفة ما إذا كانت أعداد المواليد الجدد لدينا ستبقى على قيد الحياة. بتعبير أدق، ما إذا كان التصميم منطقيا وما إذا كان سيكون مفيدا لشيء ما. أرجو أن تصدقوا كلامي بأن كل شيء على ما يرام وأن هذه الأرقام الجديدة مفيدة حقًا. الأرقام مثل 3+i، 5-7i، بشكل عام: a+bi تسمى أرقامًا مركبة. لقد أوضحت لك كيف يمكنك الحصول عليها عن طريق تدوير الطائرة. يمكن إدخالها بطرق مختلفة: كنقاط في المستوى، كبعض متعددات الحدود، كنوع من المصفوفات العددية ... وفي كل مرة تكون هي نفسها: المعادلة x2 +1=0 لا يوجد أي عنصر... الخزعبلات موجودة بالفعل!!!! فلنفرح ونفرح !!!
نهاية الجولة
وبهذا نختتم جولتنا الأولى في بلد الأرقام المزيفة. من بين الأرقام غير الأرضية الأخرى، سأذكر أيضًا تلك التي تحتوي على عدد لا حصر له من الأرقام في الأمام، وليس في الخلف (يطلق عليها 10-adic، بالنسبة لنا p-adic أكثر أهمية، حيث p هو رقم أولي)، ل مثال X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
دعونا نعد X من فضلك2. لأن؟ ماذا لو قمنا بحساب مربع عدد متبوع بعدد لا نهائي من الأرقام؟ حسنا، دعونا نفعل الشيء نفسه. نحن نعلم أن س2 = ح.
دعونا نجد رقمًا آخر به عدد لا نهائي من الأرقام أمامه يحقق المعادلة. ملحوظة: مربع العدد الذي ينتهي بالرقم ستة ينتهي أيضًا بالرقم ستة. مربع الرقم الذي ينتهي بـ 76 ينتهي أيضًا بـ 76. مربع الرقم الذي ينتهي بـ 376 ينتهي أيضًا بـ 376. مربع الرقم الذي ينتهي بـ 9376 ينتهي أيضًا بـ 9376. مربع الرقم الذي ينتهي بـ XNUMX يوم … هناك أيضًا أرقام صغيرة جدًا لدرجة أنها، كونها موجبة، تظل أصغر من أي رقم موجب آخر. إنها صغيرة جدًا لدرجة أنه يكفي في بعض الأحيان تربيعها للحصول على صفر. هناك أرقام لا تحقق الشرط أ × ب = ب × أ. هناك أيضًا أعداد لا حصر لها. كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة؟ كثيرة بلا حدود؟ نعم، ولكن كم؟ كيف يمكن التعبير عن ذلك كرقم؟ الجواب: أصغر الأعداد اللانهائية؛ تم تمييزه بحرف جميل: A ومكمل بمؤشر صفر A0 ، ألف-صفر.
وهناك أيضاً أرقام لا نعلم بوجودها... أو يمكنك أن تصدقها أو تكفرها كما تريد. وبالحديث عن ما شابه: أتمنى أن تظل معجبًا بالأرقام غير الحقيقية وأرقام الأنواع الخيالية.
