آلة جديدة للرياضيات؟ الأنماط الأنيقة والعجز
وفقًا لبعض الخبراء، يمكن للآلات أن تخترع أو، إذا أردت، أن تكتشف رياضيات جديدة تمامًا لم نرها أو نفكر فيها نحن البشر من قبل. ويرى آخرون أن الآلات لا تخترع أي شيء بمفردها، بل يمكنها فقط تمثيل الصيغ التي نعرفها بطريقة مختلفة، ولا يمكنها التعامل مع بعض المشكلات الرياضية على الإطلاق.
في الآونة الأخيرة، قدم مجموعة من العلماء من معهد التخنيون في إسرائيل وجوجل نظام آلي لتوليد النظرياتوالتي أطلقوا عليها اسم آلة رامانوجان على اسم عالم الرياضيات سرينيفاسي رامانوجانالذي طور الآلاف من الصيغ الرائدة في نظرية الأعداد مع القليل من التعليم الرسمي أو بدونه. وقد قام النظام الذي طوره الباحثون بتحويل عدد من الصيغ الأصلية والمهمة إلى ثوابت عالمية تظهر في الرياضيات. وقد تم نشر بحث حول هذا الموضوع في مجلة الطبيعة.
يمكن استخدام إحدى الصيغ المولدة آليًا لحساب قيمة ثابت عالمي يسمى الرقم الكاتالونيأكثر كفاءة من استخدام الصيغ المعروفة سابقًا والتي اكتشفها الإنسان. ومع ذلك، فإن العلماء يزعمون ذلك سيارة رامانوجان ليس المقصود منه إبعاد الرياضيات عن الناس، بل تقديم المساعدة لعلماء الرياضيات. لكن هذا لا يعني أن نظامهم خالي من الطموح. أثناء كتابتهم، تحاول الآلة "محاكاة الحدس الرياضي لعلماء الرياضيات العظماء وتقديم تلميحات لمزيد من المهام الرياضية."
يقوم النظام بوضع افتراضات حول قيم الثوابت العالمية (مثل) المكتوبة على شكل صيغ أنيقة تسمى الكسور المستمرة أو الكسور المستمرة (1). هذا هو اسم طريقة التعبير عن عدد حقيقي على شكل كسر في شكل خاص أو حد هذه الكسور. يمكن أن يكون الكسر المستمر محدودًا أو يحتوي على عدد لا نهائي من خارج القسمة.i/bi; الكسر أk/Bk يتم الحصول عليه عن طريق التخلص من الكسور الجزئية في الكسر المستمر، بدءًا من (k + 1)th، ويسمى الاختزال k ويمكن حسابه بواسطة الصيغ:-1=1،أ0=b0، B-1=0، الخامس0=1، أk=bkAK-1+akAK-2، Bk=bkBK-1+akBK-2؛ إذا تقارب تسلسل الاختزال إلى حد محدود ، فإن الكسر المستمر يسمى متقارب ، وإلا فهو متشعب ؛ يسمى الكسر المستمر بالحساب إذاi=1، ص0 أكملت، بi (أنا> 0) - طبيعي ؛ يتقارب الكسر الحسابي المستمر ؛ يتسع كل عدد حقيقي إلى كسر حسابي مستمر ، وهو محدود فقط للأعداد المنطقية.
1. مثال على كتابة Pi ككسر مستمر
خوارزمية آلة رامانوجان يختار أي ثوابت عالمية للجانب الأيسر وأي كسور مستمرة للجانب الأيمن، ثم يحسب كل جانب على حدة ببعض الدقة. إذا بدا أن كلا الجانبين متداخلان، يتم حساب الكميات بدقة أكبر للتأكد من أن التطابق ليس متطابقًا أو غير دقيق. الأهم من ذلك، أن هناك بالفعل صيغًا تسمح لك بحساب قيمة الثوابت العامة، على سبيل المثال، بأي دقة، وبالتالي فإن العائق الوحيد في التحقق من مطابقة الصفحة هو وقت الحساب.
قبل تنفيذ مثل هذه الخوارزميات، كان على علماء الرياضيات استخدام خوارزمية موجودة بالفعل. المعرفة الرياضية i النظرياتجعل مثل هذا الافتراض. بفضل التخمينات التلقائية التي تولدها الخوارزميات، يمكن لعلماء الرياضيات استخدامها لإعادة إنشاء النظريات المخفية أو الحصول على نتائج أكثر "أناقة".
إن الاكتشاف الأبرز للباحثين ليس المعرفة الجديدة بقدر ما هو الافتراض الجديد ذو الأهمية المدهشة. هذا يسمح حساب الثابت الكاتالونيوهو ثابت عالمي تكون قيمته مطلوبة في العديد من المسائل الرياضية. إن التعبير عنه ككسر مستمر في افتراض تم اكتشافه حديثًا يسمح بإجراء أسرع العمليات الحسابية حتى الآن، متغلبًا على الصيغ السابقة التي استغرقت وقتًا أطول للمعالجة في الكمبيوتر. يبدو أن هذا يمثل نقطة جديدة من التقدم في علوم الكمبيوتر منذ أن تغلبت أجهزة الكمبيوتر على لاعبي الشطرنج لأول مرة.
ما لا يستطيع الذكاء الاصطناعي التعامل معه
خوارزميات الآلة وكما ترون، فإنهم يقومون ببعض الأشياء بطريقة مبتكرة وفعالة. وفي مواجهة مشاكل أخرى، فإنهم عاجزون. اكتشف مجموعة من الباحثين في جامعة واترلو في كندا فئة من المسائل المتعلقة باستخدام التعلم الالي. يرتبط هذا الاكتشاف بالمفارقة التي وصفها عالم الرياضيات النمساوي كورت جودل في منتصف القرن الماضي.
قدم عالم الرياضيات شاي بن ديفيد وفريقه نموذجًا للتعلم الآلي يسمى الحد الأقصى للتنبؤ (EMX) في منشور في مجلة Nature. يبدو أن مهمة بسيطة تبين أنها مستحيلة بالنسبة للذكاء الاصطناعي. المشكلة التي يطرحها الفريق شاي بن داود يتعلق الأمر بالتنبؤ بالحملة الإعلانية الأكثر ربحية التي تستهدف القراء الذين يزورون الموقع بشكل متكرر. عدد الاحتمالات كبير جدًا لدرجة أن الشبكة العصبية غير قادرة على العثور على وظيفة تتنبأ بشكل صحيح بسلوك مستخدمي موقع الويب، ولا تحتوي إلا على عينة صغيرة من البيانات تحت تصرفها.
اتضح أن بعض المشاكل التي تطرحها الشبكات العصبية تعادل فرضية الاستمرارية التي طرحها جورج كانتور. أثبت عالم الرياضيات الألماني أن عددية مجموعة الأعداد الطبيعية أقل من عددية مجموعة الأعداد الحقيقية. ثم سأل سؤالاً لم يستطع الإجابة عليه. أي أنه تساءل عما إذا كانت هناك مجموعة لا نهائية ذات عدد أساسي أقل من عدد العناصر مجموعة من الأعداد الحقيقيةولكن المزيد من القوة مجموعة الأعداد الطبيعية.
عالم رياضيات نمساوي في القرن العشرين. كورت جودل أثبت أن فرضية الاستمرارية غير قابلة للحسم في النظام الرياضي الحالي. الآن اتضح أن علماء الرياضيات الذين صمموا الشبكات العصبية واجهوا مشكلة مماثلة.
لذلك، على الرغم من أنها غير مرئية بالنسبة لنا، كما نرى، إلا أنها عاجزة في مواجهة القيود الأساسية. ويتساءل العلماء عما إذا كانت هناك مسائل من هذه الفئة، مثل المجموعات اللانهائية، على سبيل المثال.
